Rechnen mit Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 14.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und A = ( [mm] a_{ij}) \in [/mm] M(nxn, K) die Matrix mit
[mm] a_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j=i+1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
(i) Berechnen sie A² und A³
(ii) Formulieren sie eine Vermutung für den Wert von
[mm] A^{k} [/mm] := A [mm] \*A \*... \*A [/mm] (mit k-Faktoren)
(mit k [mm] \in \IN) [/mm] und beweisen sie diese mittels vollständiger Induktion nach k. |
zu (i)
( [mm] b_{ij}) [/mm] = A²
[mm] b_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j=i+2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
( [mm] c_{ij}) [/mm] = A³
[mm] c_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j=i+3 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Sind meine Lösungen dazu richtig?
zu (ii)
Vermutung: [mm] (d_{ij}) [/mm] := [mm] A^{k} [/mm] dann:
[mm] d_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j=i+k \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
z.zg.:
1. [mm] (d_{ii+k}) [/mm] = [mm] \summe_{m=1}^{k} (a_{ii+m})^{m} [/mm] = 1
2. Für alle anderen j ist [mm] a_{ij} [/mm] = 0
(wobei i = 1, ... ,n)
Problem:
Zu 1. habe ich alles gezeigt, aber ich weiss nicht, wie ich alle anderen [mm] a_{ij} [/mm] als Summe ausdrücken soll!?
Ich schaffe bisher lediglich entweder eine Spalte oder eine Diagonale der Matrix auszudrücken.
Wer kann mir helfen? Am liebsten wär mir, wenn mir jemand entsprechende Summe angibt und mir dazu erklären kann wieso diese Summe alles ausdrückt. Ich habe nämlich wirklich keine Idee mehr.
DANKE schon mal.
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> Sei K ein Körper, n [mm]\in \IN[/mm] und A = ( [mm]a_{ij}) \in[/mm] M(nxn, K)
> die Matrix mit
>
> [mm]a_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j=i+1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> (i) Berechnen sie A² und A³
> (ii) Formulieren sie eine Vermutung für den Wert von
>
> [mm]A^{k}[/mm] := A [mm]\*A \*... \*A[/mm] (mit k-Faktoren)
>
> (mit k [mm]\in \IN)[/mm] und beweisen sie diese mittels
> vollständiger Induktion nach k.
> zu (i)
>
Hallo,
Deine Ergebnisse für [mm] A^2 [/mm] und [mm] A^3 [/mm] sind richtig.
Auch die Vermutung für k stimmt, ich bürste die jetzt etwas, damit man es bei der Induktion leichter hat.
>
> zu (ii)
>
Vermutung: [mm] A^{k}:=(a_{ij}^{(k)})
[/mm]
mit [mm] a_{ij}^{(k)}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j=i+k \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm].
k [mm] \to [/mm] k+1:
Es ist [mm] (a_{ij}^{(k+1)}) [/mm] = [mm] A^{k+1} [/mm] = [mm] AA^k [/mm] = [mm] (a_{ij}^{(1)})(a_{ij}^{(k)}) [/mm] = ( [mm] \summe_{l=1}^{n}a_{il}^{(1)}a_{lj}^{(k)})
[/mm]
Nun muß man bedenken, daß [mm] a_{il}^{(1)} [/mm] immer =0 ist, außer für l=i+1, und [mm] a_{ij}^{(k)} [/mm] ist nach Induktionsvoraussetzung immer =0 außer für l=j-k. Also
ist für [mm] i+1\not=j-k
[/mm]
[mm] a_{ij}^{(k+1)}:= \summe_{l=1}^{n}a_{il}^{(1)}a_{lj}^{(k)}=0
[/mm]
und für i+1=j-k <==> i+(k+1)=j
[mm] a_{ij}^{(k+1)}=a_{i,(i+(k+1))}^{(k+1)}= \summe_{l=1}^{n}a_{il}^{(1)}a_{l,(i+(k+1))}^{(k)}=...
[/mm]
(es bleibt nur der Summand für l=i+1, alles andere wird =0)
[mm] ...=a_{i,(i+1)}^{(1)}a_{i+1,(i+(k+1))}^{(k)}=1
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Do 15.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Jetzt ist alles klar, DANKESCHÖN!
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