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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Ausdrücke
[mm] (1+i)^{5}+(1-i)^{5} [/mm] |
servus
bei dieser Aufage..
kann ich das hier so machen oder geht das irgendwie schneller/effizienter anders??
[mm] (1+i)^{5}+(1-i)^{5} [/mm] ich hätte halt jetzt das weiter aufgeteilt so in der Art (für den ersten Teil):
[mm] (1+i)^{2}*(1+i)^{2}*(1+i) [/mm] und das dann halt ausmultipliziert und mit dem Hinweiß [mm] i^{2}=-1 [/mm] probiert weiter zu vereinfachen...
Grüße
Roffel
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Hallo Roffel,
das kann man sicherlich so machen. Aber der Sinn und Zweck solcher Aufgaben ist ein anderer.
Ist dir denn in diesem Zusammenhang klar, was bei der Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch in der Gauss'schen Zahlenebene passiert? Falls nein, dann schaue einmal ion deinen Unterlagen nach, ob du dort etwas dazu findest.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke Diophant .
ich hab jetzt nochmal mein Skript durchgelesen...habe aber leider nichts herauslesen können wo es bei mir im Kopf klick gemacht hat :)
hat das jetzt auch was mit der Moivre-Formel [mm] z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+i\cdot{}\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\right] [/mm] zu tuen??
oder mit dem eulerischen satz der auch teilweise in dieser Formel zu tuen hat... ???
hab leider bisher noch nichts in mein Augen gefunden was mir hier weiterhelfen würde...
Grüße
Roffel
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Hallo Roffel,
> Danke Diophant .
> ich hab jetzt nochmal mein Skript durchgelesen...habe aber
> leider nichts herauslesen können wo es bei mir im Kopf
> klick gemacht hat :)
Na, was bewirkt denn die Multiplikation geometrisch?
Schau mal da rein:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_01/ma_01_02/ma_01_02_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_01/ma_01_02/ma_01_02_15.vscml.html
>
> hat das jetzt auch was mit der Moivre-Formel [mm]z^n[/mm] \ = \
> [mm]r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+i\cdot{}\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\right][/mm]
> zu tuen??
Ja, damit kannst du diese Potenzen weit schneller berechnen als durch stumpfes Ausmultiplizieren.
Betrachte die Summanden einzeln.
[mm](1+i)^5[/mm]
Zunächst brauchst du den Betrag [mm]r=|1+i|=...[/mm]
Dann das Argument [mm]\varphi[/mm], da gibts eine Formel zur Berechnung oder viel einfacher:
Zeiche [mm]1+i[/mm] ins Koordinatensystem ein und lies den Winkel ab, den [mm]1+i[/mm] mit der reellen Achse einschließt.
Wenn du dann [mm]n\varphi[/mm], also [mm]5\cdot{}\varphi[/mm] berechnest, bedenke, dass du modulo [mm]2\pi[/mm] reduzieren solltest, Sinus und Cosinus sind ja [mm]2\pi[/mm]-periodisch ...
Für [mm](1-i)^5[/mm] genauso
Probier's einfach mal aus, kann ja nix kaputt gehen ...
>
> oder mit dem eulerischen satz der auch teilweise in dieser
> Formel zu tuen hat... ???
>
> hab leider bisher noch nichts in mein Augen gefunden was
> mir hier weiterhelfen würde...
>
> Grüße
> Roffel
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hallo
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> Ja, damit kannst du diese Potenzen weit schneller berechnen
> als durch stumpfes Ausmultiplizieren.
k. jetzt muss ich nur noch rausfinden wie das richtig und schnell gehen soll hm...
> Betrachte die Summanden einzeln.
>
> [mm](1+i)^5[/mm]
>
> Zunächst brauchst du den Betrag [mm]r=|1+i|=...[/mm]
Der Betrag wäre dann doch:
[mm] |1+i|=\wurzel{(1+i)*(1-i)}=\wurzel{1-i^{2}}=\wurzel{2} [/mm] bin mir unsicher..stimmt das?
> Dann das Argument [mm]\varphi[/mm], da gibts eine Formel zur
> Berechnung oder viel einfacher:
wie sieht die Formel für die Berechnung des Arguments aus?
\ [mm] |z|^n\cdot{}\left[ \ \cos\left(\red{n}\cdot{}\varphi\right)+i\cdot{}\sin\left(\red{n}\cdot{}\varphi\right) \ \right]
[/mm]
>
> Zeiche [mm]1+i[/mm] ins Koordinatensystem ein und lies den Winkel
> ab, den [mm]1+i[/mm] mit der reellen Achse einschließt.
wie das geht weiß ich leider auch noch nicht....
> Wenn du dann [mm]n\varphi[/mm], also [mm]5\cdot{}\varphi[/mm] berechnest,
> bedenke, dass du modulo [mm]2\pi[/mm] reduzieren solltest, Sinus und
> Cosinus sind ja [mm]2\pi[/mm]-periodisch ...
>
> Für [mm](1-i)^5[/mm] genauso
>
> Probier's einfach mal aus, kann ja nix kaputt gehen ...
ja würd ich gern nur hab ich es noch nicht mal geschafft für den ersten Teil [mm] (1+i)^{5}
[/mm]
Grüße
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Hallo,
[mm] |1+i|=abs(1+i)=\wurzel{2}
[/mm]
ist richtig. Fassen wir einmal komplexe Zahlen als Ortsvektoren in der Gaußschen Ebene auf, dann ist (etwas vereinfacht ausgedrückt) das Argument einer komplexen Zahl der Winkel zwischen diesem Vektor und der positiven reellen Achse. Ist dir klar, weshalb daher im ersten Quadranten
[mm] arg(z)=arg(x+iy)=arctan\left(\frac{y}{x}\right)
[/mm]
gilt? Wie sieht dann die Berechnung des Arguments für die anderen drei Quadranten aus?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi Diophant
> Fassen wir einmal komplexe Zahlen als
> Ortsvektoren in der Gaußschen Ebene auf, dann ist (etwas
> vereinfacht ausgedrückt) das Argument einer komplexen Zahl
> der Winkel zwischen diesem Vektor und der positiven reellen
> Achse. Ist dir klar, weshalb daher im ersten Quadranten
>
> [mm]arg(z)=arg(x+iy)=arctan\left(\frac{y}{x}\right)[/mm]
>
> gilt?
wenn ich ganz ehrlich bin, nein. ist es mir leider noch nicht klar, mit arg und arctan komme ich auch noch nicht klar. mir fallen die Aufgaben zu komplexen zahlen bisher eh noch recht schwer...muss das immer erstmal einmal richtig gesehen habe damit ich es auch richtig verstehen kann... hm...
Wie sieht dann die Berechnung des Arguments für die
> anderen drei Quadranten aus?
das kann ich dir bisher leider noch nicht sagen :(
Grüße
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Hallo Roffel,
> Hi Diophant
>
> > Fassen wir einmal komplexe Zahlen als
> > Ortsvektoren in der Gaußschen Ebene auf, dann ist (etwas
> > vereinfacht ausgedrückt) das Argument einer komplexen Zahl
> > der Winkel zwischen diesem Vektor und der positiven reellen
> > Achse. Ist dir klar, weshalb daher im ersten Quadranten
> >
> > [mm]arg(z)=arg(x+iy)=arctan\left(\frac{y}{x}\right)[/mm]
> >
> > gilt?
> wenn ich ganz ehrlich bin, nein. ist es mir leider noch
> nicht klar, mit arg und arctan komme ich auch noch nicht
> klar. mir fallen die Aufgaben zu komplexen zahlen bisher eh
> noch recht schwer...muss das immer erstmal einmal richtig
> gesehen habe damit ich es auch richtig verstehen kann...
> hm...
Schaue auf Wikipedia "komplexe Zahlen", da sind die ganzen Fälle für die Berechnung des Argumentes aufgelistet
Wenn möglich, umgeht man diese Rechnung mit dem [mm]\arctan[/mm] - gerade bei "einfachen" Aufgaben, wo man das Argument ablesen kann.
[mm]1+i[/mm] liegt doch auf der 1. Winkelhalbierenden im 1.Quadranten.
Und die schließt mit der (pos.) reellen Achse einen Winkel von [mm]45^\circ[/mm] bzw. [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] ein, das kann man doch ablesen ...
Du gehst von der posit. reellen Achse aus und läust im Gegenuhrzeigersinn im Kreis bis du auf [mm]1+i[/mm] bzw. die 1. WH triffst.
>
> Wie sieht dann die Berechnung des Arguments für die
> > anderen drei Quadranten aus?
> das kann ich dir bisher leider noch nicht sagen :(
Zeiche dir [mm]1-i[/mm] ins Koordinatensystem ein und überlege genauso, welchen Winkel [mm]\varphi[/mm] mir [mm]0\le \varphi< 2\pi[/mm] das mit der pos. reellen Achse einschließt.
>
> Grüße
>
LG
schachuzipus
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