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| Aufgabe | Es seien a,b,c [mm] \in \IN. [/mm] Zeige
a) Ist ggT(a,b)=1 und a|b*c. so gilt a|c.
b) Es sei zudem m [mm] \in \IN [/mm] und es bezeichne d:=ggT(c,m). Dann gilt:
Aus [mm] a*c\equiv [/mm] b*c (mod m) folgt [mm] a\equiv [/mm] b (mod m/d) |
Hi Leute,
also a) ist klar.
Zu b) habe ich auch eine Lösung vorliegen. Verstehe dort nur einen Schritt nicht so.
Nach Vor. ex. eine natürliche Zahl k, sodass
(1) ac-bc=c(a-b)=k*m gilt.
Wegen ggT(c,m)=d teilt d c und m, also d|c und d|m.
Damit gilt auch c=d*r und m=d*s, wobei r,s teilerfremd sind.
Setzt man diese beidenen erte in (1) ein, so erhält man
dr(a-b)=k*ds
r(a-b)=k*s
Was jetzt kommt, verstehe ich nicht so. Die sagen aus r(a-b)=k*s folgt:
s|r*(a-b) zusammen mit ggT(r,s)=1.
Also s|r*(a-b) ist klar, aber wieso folgt daraus auch ggT(r,s)=1.
Zuletzt sagen die dann noch.
Nach (a) muss also s|(a-b) gelten. Und das ist a [mm] \equiv [/mm] b (mod s), und das ist ja genau die Beh.
Hierzu meine Frage, wieso folgt aus s|r*(a-b) mit (a) s|(a-b)??
Also wäre echt nett, wenn ihr mir diese Frage beantworten könntet.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Di 17.05.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Es seien a,b,c [mm]\in \IN.[/mm] Zeige
>
> a) Ist ggT(a,b)=1 und a|b*c. so gilt a|c.
>
> b) Es sei zudem m [mm]\in \IN[/mm] und es bezeichne d:=ggT(c,m).
> Dann gilt:
>
> Aus [mm]a*c\equiv[/mm] b*c (mod m) folgt [mm]a\equiv[/mm] b (mod m/d)
> Hi Leute,
>
> also a) ist klar.
>
> Zu b) habe ich auch eine Lösung vorliegen. Verstehe dort
> nur einen Schritt nicht so.
>
>
> Nach Vor. ex. eine natürliche Zahl k, sodass
>
> (1) ac-bc=c(a-b)=k*m gilt.
>
> Wegen ggT(c,m)=d teilt d c und m, also d|c und d|m.
>
>
> Damit gilt auch c=d*r und m=d*s, wobei r,s teilerfremd
> sind.
>
> Setzt man diese beidenen erte in (1) ein, so erhält man
>
> dr(a-b)=k*ds
> r(a-b)=k*s
>
> Was jetzt kommt, verstehe ich nicht so. Die sagen aus
> r(a-b)=k*s folgt:
>
> s|r*(a-b) zusammen mit ggT(r,s)=1.
>
> Also s|r*(a-b) ist klar, aber wieso folgt daraus auch
> ggT(r,s)=1.
>
>
> Zuletzt sagen die dann noch.
>
> Nach (a) muss also s|(a-b) gelten. Und das ist a [mm]\equiv[/mm] b
> (mod s), und das ist ja genau die Beh.
>
> Hierzu meine Frage, wieso folgt aus s|r*(a-b) mit (a)
> s|(a-b)??
Oben steht, daß r und s teilerfremd sind, was genau die Voraussetzung von (a) ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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HI,
aber so ganz verstehe ich es trotzdem nicht.
> aus r(a-b)=k*s folgt
> s|r*(a-b) zusammen mit ggT(r,s)=1.
Ok ggT(r,s)=1 folgt, weil r und s teilerfremd sind, ok. das habe ich verstanden. aber wieso folgt mit a) dann aus s|r*(a-b)
> s|(a-b) ???
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Hallo steve,
> > aus r(a-b)=k*s folgt
> > s|r*(a-b) zusammen mit ggT(r,s)=1.
>
> Ok ggT(r,s)=1 folgt, weil r und s teilerfremd sind, ok. das
> habe ich verstanden. aber wieso folgt mit a) dann aus
> s|r*(a-b)
>
> > s|(a-b) ???
s teilt r ja nicht. Da s aber das Produkt r*(a-b) teilt, muss s also den anderen Faktor teilen, nämlich (a-b).
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 17.05.2011 | | Autor: | steve.joke |
natürlich.
danke dir für den hinweis.
grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Di 17.05.2011 | | Autor: | statler |
Hi ihr beiden!
> > > aus r(a-b)=k*s folgt
> > > s|r*(a-b) zusammen mit ggT(r,s)=1.
> >
> > Ok ggT(r,s)=1 folgt, weil r und s teilerfremd sind, ok. das
> > habe ich verstanden. aber wieso folgt mit a) dann aus
> > s|r*(a-b)
> >
> > > s|(a-b) ???
>
> s teilt r ja nicht. Da s aber das Produkt r*(a-b) teilt,
> muss s also den anderen Faktor teilen, nämlich (a-b).
Daß s r nicht teilt, reicht nicht. Aus didaktischen Gründen würde ich hier für äußerste Genauigkeit plädieren.
Um den Zusammenhang zu
(a) Ist ggT(a,b)=1 und a|b*c. so gilt a|c.
herzustellen, kann man in (a) das a r nennen, das b s und das c (a-b). Dann hat man's.
Gruß
Dieter
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