Rechenregeln für n-te Wurzel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Es ist bekannt, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] y\in\IR^{+} [/mm] die Gleichung [mm] x^{n} [/mm] = y eine eindeutige positive Lösung [mm] x\in\IR^{+} [/mm] besitzt. Dies wird als x = [mm] \wurzel[n]{y} [/mm] bezeichnet. Es gilt für alle [mm] a,b\in\IR^{+} [/mm] Folgendes zu zeigen:
1. Es gilt die Gleichung [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{b} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{ab}
[/mm]
2. Es gilt die Ungleichung [mm] \wurzel[n]{a+b} \le \wurzel[n]{a} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{b} [/mm] |
Hallo, erstmal.
Ich hab da mal eine Frage. Und zwar weiß ich nicht ganz genau, wie ich das hier zeigen soll. KAnn mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen? Muss ich da eine Induktion machen oder die Potenzgesetze anwenden, oder was ganz anderes? Ich steh wirklich auf'm Schlauch.
Ich hoffe, mir kann weitergeholfen werden.
Viele Grüße und schon mal danke, Petrit!
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Hi,
> Es ist bekannt, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]y\in\IR^{+}[/mm] die
> Gleichung [mm]x^{n}[/mm] = y eine eindeutige positive Lösung
> [mm]x\in\IR^{+}[/mm] besitzt. Dies wird als x = [mm]\wurzel[n]{y}[/mm]
> bezeichnet. Es gilt für alle [mm]a,b\in\IR^{+}[/mm] Folgendes zu
> zeigen:
> 1. Es gilt die Gleichung [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] * [mm]\wurzel[n]{b}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{ab}[/mm]
> 2. Es gilt die Ungleichung [mm]\wurzel[n]{a+b} \le \wurzel[n]{a}[/mm]
> + [mm]\wurzel[n]{b}[/mm]
> Hallo, erstmal.
>
> Ich hab da mal eine Frage. Und zwar weiß ich nicht ganz
> genau, wie ich das hier zeigen soll. KAnn mir da vielleicht
> jemand auf die Sprünge helfen? Muss ich da eine Induktion
> machen oder die Potenzgesetze anwenden, oder was ganz
> anderes? Ich steh wirklich auf'm Schlauch.
nein, die Potenzgesetze sollst du nicht anwenden. Bei Aufgabe a) sollst du ja gerade eines der Potenzgesetze zeigen!
Du musst also ganz sacht an die Sache herangehen. Schreib am besten alles auf, was du weißt, also das was gegeben ist. Dann musst du alles so in Verbindung bringen, dass es zu der Behauptung übergeht.
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> Ich hoffe, mir kann weitergeholfen werden.
>
> Viele Grüße und schon mal danke, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Danke, ich werd's mal versuchen!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:50 Do 05.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hallo!
Ich versteh immer noch nicht, was ich hier zeigen soll. Ich habe das jetzt mal ausgeschrieben und die Wurzel umgeschrieben in eine Potenz. Aber ich weiß einfach nicht, wie ich nun weitermachen soll?
Kann mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen, wäre echt top!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Do 05.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hat sich erledigt, bin selbst drauf gekommen, danke,
Gruß Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 05.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Petrit,
> Hat sich erledigt, bin selbst drauf gekommen, danke,
Das würde mich interessieren, zumal mir durchweg unklar war, was Du nun eigentlich verwenden darfst. Meines Erachtens geht es ganz ohne Potenzregelen nämlich gar nicht - oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hat sich erledigt, bin selbst drauf gekommen, danke,
für die Aufgabe 1. kannst Du Dich an den Tipp aus meiner Antwort halten.
Auch mal für Aufgabe 2 einen Tipp:
Für $r,s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
$r [mm] \le [/mm] s$ [mm] $\iff$ $r^n \le s^n\,.$
[/mm]
Um
[mm] $\sqrt[n]{a+b}\;\;\le\;\;\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$
[/mm]
einzusehen, reicht es also:
[mm] ${(\sqrt[n]{a+b})}^n\;\;\le\;\;{(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})}^n$
[/mm]
nachzurechnen/zu begründen (dann benutze man das [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] bei obigem [mm] $\iff$!).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 07.12.2013 | | Autor: | Petrit |
Hallo!
Erstmal danke für die vielen Tipps. Aufgabe 1 konnte ich damit lösen, allerdings fehlt mir bei Aufgabe 2 der Durchblick. Wie kann ich [mm] {(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})}^n [/mm] ausmultiplizieren. Auf der linken Seite müssten sich ja die Exponenten rauskürzen. Könnte mir das vielleicht nochmal jemand erklären?
Ich bedanke mich schonmal und viele Grüße, Petrtit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:33 So 08.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Erstmal danke für die vielen Tipps. Aufgabe 1 konnte ich
> damit lösen, allerdings fehlt mir bei Aufgabe 2 der
> Durchblick. Wie kann ich [mm]{(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b})}^n[/mm]
> ausmultiplizieren.
kennst Du den ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatz (klick!)?
> Auf der linken Seite müssten sich ja
> die Exponenten rauskürzen.
Da weiß ich nicht, was Du mir sagen willst.
> Könnte mir das vielleicht nochmal jemand erklären?
Eigentlich geht es sogar ohne den binomischen Lehrsatz:
Zeige einfach, dass sowohl der Summand
[mm] $x^n$
[/mm]
als auch der Summand
[mm] $y^n$
[/mm]
bei
[mm] ${(x+y)}^n$
[/mm]
auftaucht. Etwas besser auf Deine Aufgabe zugeschnitten sogar sowas:
[mm] ${(x+y)}^n=x^n+\text{irgendwas}+y^n\,,$
[/mm]
wobei Du im Falle
$x,y [mm] \;\ge\;0$ [/mm]
dann auch
[mm] $\text{irgendwas}\;\ge\;0$
[/mm]
begründen solltest. Dann betrachte speziell
[mm] $x:=\sqrt[n]{a}$ [/mm] und [mm] $y:=\sqrt[n]{b}\,.$
[/mm]
(Denn
[mm] $x=\sqrt[n]{a}$ $\iff$ $x^n=a$ [/mm]
und
[mm] $y=\sqrt[n]{b}$ $\iff$ $y^n=b$
[/mm]
für $a,b [mm] \ge 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
so mal nebenbei als Hinweis für
[mm] $\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
[/mm]
für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ und $n [mm] \in \IN,$ [/mm] auch, wenn Du glaubst, nun alles gelöst zu haben:
Die Zahl
[mm] $x:=\sqrt[n]{ab}$
[/mm]
ist ja die eindeutig bestimmte Zahl [mm] $\ge\;0,$ [/mm] für die [mm] $x^n=a*b\,$ [/mm] ist.
Setze [mm] $x\,':=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}\,.$ [/mm] Dann weise nach, dass auch:
[mm] $(x\,')^n=a*b$
[/mm]
gilt (und da solltest Du natürlich schon Potenzgesetze anwenden [dürfen],
jedenfalls sowas wie [mm] $(r*s)^n=r^n*s^n\,,$ [/mm] was man sich aber notfalls auch selbst
schnell beweisen könnte...).
Dann folgt aus der Eindeutigkeit von ... also [mm] $x\,'=...$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
wie schreibt man (z.B. in einer Klausur) das Potenzieren an beiden Seiten rechts daneben?
So?
x+y=2 | [mm] ()^n
[/mm]
Oder wie?
Gruss
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> Hallo,
>
> wie schreibt man (z.B. in einer Klausur) das Potenzieren an
> beiden Seiten rechts daneben?
>
> So?
>
> x+y=2 | [mm]()^n[/mm]
>
> Oder wie?
Hallo,
man schreibt gar nichts rechts daneben.
Sondern:
x+y=2
==>
[mm] (x+y)^n=2^n
[/mm]
LG Angela
>
> Gruss
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