Rechenregeln auf [0,\infty] < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mi 03.11.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Zusätzliche Rechenregeln auf [mm] [0,\infty]:
[/mm]
Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] $x+\infty=\infty [/mm] + [mm] x=\infty$
[/mm]
Für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt [mm] $x*\infty [/mm] = [mm] \infty *x=\infty$
[/mm]
[mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Stimmen folgende Aussagen für alle a,b,c [mm] \in [0,\infty]?
[/mm]
1. $(a+b)+c=a+(b+c)$
2. $ a+b = c+b [mm] \Rightarrow [/mm] a=c $
3. ab=ab und b [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=c
4. Seien [mm] a_{n},b_{n} \in \IR^{+}. [/mm] Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b, [/mm] dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n}) [/mm] = a+b
5.Seien [mm] a_{n},b_{n} \in \IR^{+}. [/mm] Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b, [/mm] dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}b_{n}=ab
[/mm]
PS: Wir sagen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty, [/mm] wenn es für jedes M [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] n_{M} \in \IN [/mm] gibt, mit n [mm] \ge n_{M} \Rightarrow a_{n}=M [/mm] |
Hallo zusammen,
es kann sein, dass dieser thread total unsinnig ist, aber:
Ich sitze in Analysis 3 und bekomme diese Aufgabe...das verwirrt mich.
Sehe ich mir zB 1. an, ist das für mich eine triviale Aussage, denn [mm] (\IR,+) [/mm] ist ja eine abelsche Gruppe und wenn zB das Assoziativgesetz für ganz [mm] \IR [/mm] gilt, dann doch auch für einen Teil von [mm] \IR.
[/mm]
Ich habe versuchsweise mal 2 Fälle draus gemacht und im 2.Fall für verschiedene a,b,c = [mm] \infty [/mm] gewählt (d.h. erst eine unbekannte, dann 2, dann alle 3)...was meiner ansicht nach genauso trivial ist.
... letztendlich sollte das bei allem anderen ja auch so sein
ich hab entweder einen riesengroßen denkfehler (den mir bitte jemand mitteilen möchte) oder die aufgabe ist trivial, was nicht ganz zum übungskonzept passt ;)
Ich bin dankbar für jeden, der mir erklärt, wo mein Denkfehler ist.
Beste Grüße
cmueller
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mi 03.11.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo cmueller,
für die [mm]x \in \IR[/mm] müsste man den Aufwand auch nicht betreiben.
[mm]\infty[/mm] ist aber kein Element aus [mm]\IR[/mm].
Deshalb musst du hier zeigen, dass z.B. das Assoziativgesetz nicht nur für [mm]x \in \IR[/mm] bzw. hier [mm]x \in \IR_+[/mm] gilt, sondern auch wenn dort der unbestimmte Ausdruck [mm]\infty[/mm] auftaucht.
Das erscheint mir jetzt auf den ersten Blick allerdings auch nicht allzu schwer.
Schöne Grüße,
Maraq
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zusätzliche Rechenregeln auf [mm][0,\infty]:[/mm]
>
> Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]x+\infty=\infty + x=\infty[/mm]
> Für
> alle [mm]x\in \IR[/mm] gilt [mm]x*\infty = \infty *x=\infty[/mm]
> [mm]\infty[/mm] +
> [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm] und [mm]\infty[/mm] * [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Stimmen folgende Aussagen für alle a,b,c [mm]\in [0,\infty]?[/mm]
>
> 1. [mm](a+b)+c=a+(b+c)[/mm]
> 2. [mm]a+b = c+b \Rightarrow a=c[/mm]
> 3. ab=ab und b [mm]\not=[/mm] 0
Hier muß es wohl ab=ac lauten.
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=c
> 4. Seien [mm]a_{n},b_{n} \in \IR^{+}.[/mm] Wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = a und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b,[/mm] dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})[/mm] = a+b
> 5.Seien [mm]a_{n},b_{n} \in \IR^{+}.[/mm] Wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = a und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b,[/mm] dann gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}b_{n}=ab[/mm]
>
> PS: Wir sagen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty,[/mm] wenn
> es für jedes M [mm]\in \IN[/mm] ein [mm]n_{M} \in \IN[/mm] gibt, mit n [mm]\ge n_{M} \Rightarrow a_{n}=M[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> es kann sein, dass dieser thread total unsinnig ist, aber:
> Ich sitze in Analysis 3 und bekomme diese Aufgabe...das
> verwirrt mich.
> Sehe ich mir zB 1. an, ist das für mich eine triviale
> Aussage, denn [mm](\IR,+)[/mm] ist ja eine abelsche Gruppe und wenn
> zB das Assoziativgesetz für ganz [mm]\IR[/mm] gilt, dann doch auch
> für einen Teil von [mm]\IR.[/mm]
Welchen Teil meinst Du ? Wir sind doch in $ [mm] [0,\infty] [/mm] $ !!
> Ich habe versuchsweise mal 2 Fälle draus gemacht und im
> 2.Fall für verschiedene a,b,c = [mm]\infty[/mm] gewählt (d.h. erst
> eine unbekannte, dann 2, dann alle 3)...was meiner ansicht
> nach genauso trivial ist.
1. ist in der Tat einfach, alles folgt aus obigen Regeln.
>
> ... letztendlich sollte das bei allem anderen ja auch so
> sein
Vorsicht, Vorsicht !
Zu 2. Es ist 3+ [mm] \infty= [/mm] 2+ [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty, [/mm] aber 3 [mm] \ne [/mm] 2
3. ist auch falsch. Finde mal ein Gegenbeispiel.
FRED
>
> ich hab entweder einen riesengroßen denkfehler (den mir
> bitte jemand mitteilen möchte) oder die aufgabe ist
> trivial, was nicht ganz zum übungskonzept passt ;)
>
> Ich bin dankbar für jeden, der mir erklärt, wo mein
> Denkfehler ist.
>
> Beste Grüße
>
> cmueller
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 03.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Oh da hast du recht, da war ich etwas zu voreilig. mich hat auch hauptsächlich verwirrt, dass es (auch wenn aussage 2 und 3 nicht stimmen) ´zunächst so simpel erscheint ;)
Hast du noch einen Tipp für mich, bzgl 4. und 5.?
Ich habe gerade ein kleines Problem mit folgendem:
zB zu 4.
ich kann ja von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b [/mm] ausgehen.
wenn ich wähle [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
habe ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Hier muss ich wahrscheinlich mein PS beachten...
aber irwie stecke ich fest.
es solte ja egal sein, ob ich [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] oder beide [mm] \infty [/mm] wähle weil die addition ja jeweils unendlich ist oder?
ich vermute das problem ist ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] ist für [mm] a_{n}=\infty...aber [/mm] ich sehe das problem nicht :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
dürft ihr auch auf Anderes zurückgreifen? Dann kannst du 4. mit dem Grenzwertsatz und der Anwendung der Dreiecksungleichung lösen.
LG
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:44 Mi 03.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo, ja ich denke shcon, dass ich das benutzen darf.
aber wo ich die dreiecksungleichung brauche erschließt sich mir dann nich ganz?
ich habe doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = a und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = b gegeben.
dann sage ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+b_{n}) [/mm] = (nach dem Grenzwertsatz) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (b_{n}) [/mm] = a+b nach vorausetzung?
das sollte meiner ansicht nach zumindest für alle a,b [mm] \in \IR^{+} [/mm] gelten, [mm] \infty [/mm] nicht mitinbegriffen. oder?
was mache ich wenn [mm] a_{n} [/mm] oder [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \infty?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo, ja ich denke shcon, dass ich das benutzen darf.
>
> aber wo ich die dreiecksungleichung brauche erschließt
> sich mir dann nich ganz?
>
> ich habe doch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = a und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm] = b gegeben.
> dann sage ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+b_{n})[/mm] =
> (nach dem Grenzwertsatz) = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n})[/mm]
> + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (b_{n})[/mm] = a+b nach
> vorausetzung?
mein Vorschlag wäre hier:
[mm]\forall\ \varepsilon > 0\ \exists n_0 \in \IN\ :\ \forall\ n>n_0\ :\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
[mm]\forall\ \varepsilon > 0\ \exists n_0 \in \IN\ :\ \forall\ n>n_0\ :\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
[mm]|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|\leq|a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
Das entspricht genau der Definition des Grenzwertsatzes für Folgen. Wenn das FALSCH sein sollte, dann bitte ich um entsprechende Korrektur.
>
> das sollte meiner ansicht nach zumindest für alle a,b [mm]\in \IR^{+}[/mm]
> gelten, [mm]\infty[/mm] nicht mitinbegriffen. oder?
>
> was mache ich wenn [mm]a_{n}[/mm] oder [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\infty?[/mm]
du meinst, wenn a oder b = [mm] $\infty$ [/mm] - bei nochmaligem Überdenken, denke ich, dass 4. falsch ist, weil kein [mm] \varepsilon [/mm] existiert. Ich halte mich lieber bedeckt ![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]")
edit: wer lesen kann, usw. -- in der Aufgabenstellung steht doch sogar, dass [mm] a_n,b_n\in\IR^+ [/mm] sind - dann sollte die Dreiecksungleichung so stimmen.
LG
Herby
ps: wer nicht wagt, der nicht gewinnt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Do 04.11.2010 | | Autor: | Herby |
Moin,
wer lange liest ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]") -- vgl. Teubner Taschenbuch der Mathematik:
aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n=+\infty[/mm] folgt stets
<SPAN class=math>[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n+b_n)=a+\infty=+\infty[/mm]
Die anderen Fälle musst du halt auch noch durchspielen.
LG
Herby
</SPAN>
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