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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 10.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich hab da ein paar Schwierigkeiten, weil ich mir nicht sicher bin, ob das richtig ist, was ich mache bzgl. Rechengesetze.
Fragen:
1) Es gilt doch [mm] cos^{2} [/mm] x + [mm] sin^{2} [/mm] x = 1
Gilt dann auch [mm] cos^{2} [/mm] (2x) + [mm] sin^{2} [/mm] (2x) = 1 ?
2) Es gilt [mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] = tan x
Gilt dann auch [mm] \bruch{sin^{2} (2x) }{cos^{2} (2x)} [/mm] = [mm] tan^{2} [/mm] (2x) ?
3) Wie kann ich z.B. [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] nach x auflösen?
Ich hab versucht, den ln zu verwenden. Dann komm ich auf folgendes:
ln [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = ln [mm] (e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
Aber dann weiß ich nicht weiter. Kann ich irgendwie den ln auf der rechten Seite umschreiben?
Danke für eure Hilfe!
Ciao!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Di 11.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo VHN,
> Hallo!
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> Ich hab da ein paar Schwierigkeiten, weil ich mir nicht
> sicher bin, ob das richtig ist, was ich mache bzgl.
> Rechengesetze.
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> Fragen:
> 1) Es gilt doch [mm]cos^{2}[/mm] x + [mm]sin^{2}[/mm] x = 1
> Gilt dann auch [mm]cos^{2}[/mm] (2x) + [mm]sin^{2}[/mm] (2x) = 1 ?
Hierbei ist wohl $x [mm] \in \IR$? [/mm] (Es stimmt aber auch für $x [mm] \in \IC$, [/mm] wenn ich das richtig sehe!)
Jedenfalls:
Für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $\cos²r+\sin²r=1$ [/mm] (das ist sozusagen der Pythagoras in der komplexen Ebene:![[]](/images/popup.gif) http://www.briegel-online.de/mathe/m10/sinuscosinus.htm
Ersetze bei obigem Link mal die "1" der y-Achse durch die imaginäre Einheit $i$! Ein Glück, dass man den Betrag einer komplexen Zahl gerade passend dazu definiert hat.  )
D.h. insbesondere, dass für [mm] $r_1=x \in \IR$ [/mm]
[m]\cos^2(\underbrace{x}_{=r_1})+\sin^2(\underbrace{x}_{=r_1})=1[/m] gilt, und falls $x [mm] \in \IR$, [/mm] so ist auch [mm] $r_2=2x \in \IR$ [/mm] und dann gilt auch:
[mm] $cos^2(\underbrace{2x}_{=r_2})+sin^2(\underbrace{2x}_{=r_2})=1$. [/mm]
> 2) Es gilt [mm]\bruch{sin x}{cos x}[/mm] = tan x
> Gilt dann auch [mm]\bruch{sin^{2} (2x) }{cos^{2} (2x)}[/mm] =
> [mm]tan^{2}[/mm] (2x) ?
Ja, falls [mm] $\cos(2x)\not=0$ [/mm] bzw. falls [mm] $\tan(2x)$ [/mm] definiert ist. Ist nämlich [m]\cos(2x)\not=0[/m], so folgt aus der Beziehung:
[m](\star_1)\;\;\tan(2x)=\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)}[/m]
(beachte: Es gilt für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\cos(r)\not=0$:
[/mm]
[m]\tan(r)=\bruch{\sin(r)}{\cos(r)}[/m]. [mm] $(\star_1)$ [/mm] folgt dann mit $r=2x$)
die Gleichung:
[m]\tan^2(2x)=\tan(2x)*\tan(2x)=\left(\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right)*\left(\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right)=\bruch{\sin^2(2x)}{\cos^2(2x)}[/m]
> 3) Wie kann ich z.B. [mm]\bruch{3}{4}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm] nach x
> auflösen?
Substituiere zunächst: [mm] $z:=e^{x}$. [/mm] Dann gilt:
[mm]\bruch{3}{4} = e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm]
[m]\gdw[/m]
[mm] (\star_2)\;\;\bruch{3}{4} = z + \frac{1}{z}[/mm].
(Beachte dabei, dass stets [mm] $z=e^x \not= [/mm] 0$ gilt, und damit gilt insbesondere, dass [mm] $\frac{1}{z}$ [/mm] stets ein sinnvoller Ausdruck ist (da ja dann dort im Nenner keine $0$ auftauchen kann) und es gilt:
[m]e^{-x}=(e^x)^{-1}=\frac{1}{e^x}=\bruch{1}{z}[/m].)
Nun erhältst du, indem du die Gleichung [mm] $(\star_2)$ [/mm] mit $z$ multiplizierst (und alles auf eine Seite bringst), eine "quadratische Gleichung" in der Variablen $z$, deren Lösungen du (z.B.) mit der  PQFormel errechnest. Durch Rücksubstitution von [mm] $z=e^x$ [/mm] kannst du danach dein $x$ berechnen (beachte aber, dass, falls $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, auch [mm] $e^x=z>0$ [/mm] gelten muss.)
Viele Grüße,
Marcel
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