Realteil einer holomorphen Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Turis |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] das Polynom
[mm] x^2+2axy+by^2
[/mm]
Realteil einer holomorphen Funktion sein kann. |
Hallo!
Ich habe einige Schwierigkeiten mit der Aufgabe, da uns nur die Cauchy-Riemannsche Gleichungen zur Verfügung stehen.
Es wäre klasse, wenn mir jemand einen Rat geben könnte!
Bisher habe ich folgendes:
Da die Fkt ja holomorph sein soll müssen die CR-Gleichungen gelten, also gilt
[mm] u_{x} [/mm] = 2x + 2ay = [mm] v_{y}
[/mm]
[mm] u_{y} [/mm] = 2ax + 2by = [mm] -v_{x}
[/mm]
(wobei z.B. [mm] u_{y} [/mm] die erste Ableitung nach y meint)
Nun habe ich die beiden Terme nach y bzw x integriert und erhalte ja jeweils v(x,y) also insgesamt die Gleichung:
2xy + [mm] ay^2 [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] + 2bxy
oder etwas umgeformt
[mm] a(y^2 [/mm] - [mm] x^2) [/mm] = 2xy(b-1)
Nun komme ich aber nicht weiter, weil ich irgendwie zwei Gleichungen bräuchte um a und b bestimmen zu können.
Ist das bisher der richtige Weg?
Habt ihr eventuell einen Vorschlag für mich?
Vielen Dank und bis bald,
Turis
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 11.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Turis!
> Bestimmen Sie, für welche a,b [mm]\in \IR[/mm] das Polynom
> [mm]x^2+2axy+by^2[/mm]
> Realteil einer holomorphen Funktion sein kann.
> Hallo!
>
> Ich habe einige Schwierigkeiten mit der Aufgabe, da uns nur
> die Cauchy-Riemannsche Gleichungen zur Verfügung stehen.
> Es wäre klasse, wenn mir jemand einen Rat geben könnte!
>
> Bisher habe ich folgendes:
> Da die Fkt ja holomorph sein soll müssen die
> CR-Gleichungen gelten, also gilt
> [mm]u_{x}[/mm] = 2x + 2ay = [mm]v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y}[/mm] = 2ax + 2by = [mm]-v_{x}[/mm]
> (wobei z.B. [mm]u_{y}[/mm] die erste Ableitung nach y meint)
>
> Nun habe ich die beiden Terme nach y bzw x integriert und
> erhalte ja jeweils v(x,y) also insgesamt die Gleichung:
>
> 2xy + [mm]ay^2[/mm] = [mm]ax^2[/mm] + 2bxy
Zwei Fehler: auf der rechten Seite fehlt das Minuszeichen von [mm] $\red{-}v_x$, [/mm] und zweitens hast du vergessen, dass beim unbestimmten Integrieren nach y ein beliebiger, nur von x abhängiger Term auftreten kann. (analog auf der rechten Seite ein Term, der nur von y abhängt).
Das bringt also nichts.
Ich rate dir, [mm] $u_{xx}$ [/mm] und [mm] $u_{yy}$ [/mm] auszurechnen. (Merke: Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind als Funktionen von [mm] $\IR^2\$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] harmonische Funktionen.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Turis |
Hallo!
Danke für deine Antwort!
Ich habe im Netz schon einige Mal von "harmonisch" gelesen, aber hatte das selbst noch nicht (weder in Analysis noch jetzt in Funktionentheorie).
Nachdem heute der Satz mit den CR-Gleichungen an der Tafel stand, meinte unsere Dozentin, dass wir alles zusammen hätten um die Aufgabe zu lösen. Irgendwas mit zweiter Ableitung (was wohl dieses [mm] v_{xx} [/mm] darstellen soll?) kam nicht vor.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Fr 11.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nachdem heute der Satz mit den CR-Gleichungen an der Tafel
> stand, meinte unsere Dozentin, dass wir alles zusammen
> hätten um die Aufgabe zu lösen. Irgendwas mit zweiter
> Ableitung (was wohl dieses [mm]v_{xx}[/mm] darstellen soll?) kam
> nicht vor.
Kommt aber jetzt vor. Rechne doch mal [mm] $u_{xx}$ [/mm] und [mm] $u_{yy}$ [/mm] mit Hilfe der CR-DGlen aus. Was fällt dir auf?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Turis |
Okay, danke!
Ich habe raus das b=-1 sein muss und a ist beliebig.
Denn [mm] u_{xx}=2, u_{yy}=2b [/mm] also muss 2+2b=0 was bei b=-1 gilt.
und [mm] v_{xx}=-2a, v_{yy}=2a [/mm] also muss 2a-2a=0 (was immer gilt)
War es das, was du meintest?
Grüße
Turis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Sa 12.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay, danke!
>
> Ich habe raus das b=-1 sein muss und a ist beliebig.
> Denn [mm]u_{xx}=2, u_{yy}=2b[/mm] also muss 2+2b=0 was bei b=-1
> gilt.
>
> und [mm]v_{xx}=-2a, v_{yy}=2a[/mm] also muss 2a-2a=0 (was immer
> gilt)
Das ist richtig.
> War es das, was du meintest?
Zum Teil. Hast du nachgerechnet, warum [mm] $u_{xx}+u_{yy}=0$ [/mm] und [mm] $v_{xx}+v_{yy}=0$ [/mm] gilt? Das wäre der erste Schritt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Turis |
Ich denke mal weil ich weiß dass
[mm] u_{x}=v_{y}
[/mm]
[mm] u_{y}=-v_{x}
[/mm]
also
[mm] u_{xx}=v_{yx}
[/mm]
[mm] u_{yy}=-v_{xy}
[/mm]
Ich denke (kanns aber nicht beweisen, da wir in Ana2 seeehr lahm waren), dass wohl es egal ist ob ich erst nach x und dann nach y ableite oder anders rum. Somit müsste dann [mm] u_{xx}+u_{yy}=0. [/mm] v analog.
Grüße und Danke,
Turis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 13.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich denke mal weil ich weiß dass
> [mm]u_{x}=v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y}=-v_{x}[/mm]
>
> also
> [mm]u_{xx}=v_{yx}[/mm]
> [mm]u_{yy}=-v_{xy}[/mm]
>
> Ich denke (kanns aber nicht beweisen, da wir in Ana2 seeehr
> lahm waren), dass wohl es egal ist ob ich erst nach x und
> dann nach y ableite oder anders rum. Somit müsste dann
> [mm]u_{xx}+u_{yy}=0.[/mm] v analog.
Genau! Voraussetzung dafür ist, dass die zweiten partiellen Ableitungen existieren und steitg sind, aber das ist bei holomorphen Funktionen ja der Fall. Damit sind also Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion als Abbildungen von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\R$ [/mm] harmonische Funktionen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 13.04.2008 | | Autor: | Turis |
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