Real- und Imaginärteil rechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen
1) [mm] z=(1-\wurzel{3}i)^{5}
[/mm]
2) [mm] z=\bruch{4i+3}{(2-i)}+\bruch{2}{(1-3i)^{2}}
[/mm]
3) [mm] z=(2*e^{3.2i})^{5} [/mm] |
Ahoi,
ich glaube ich habe eine mehr oder minder dumme Frage zum Berechnen mit komplexen Zahlen. Die Aufgabe lautet lediglich, ich solle Real- und Imaginärteil berechnen, aber irgendwie ist mir dieses gesamte "Komplexe Zahlen"-Konzept nicht so ganz klar.
Ich habe zwar im Internet viel gesucht, aber ich weiss immernoch nicht so wirklich, was da von mir gewollt ist.
Könnte mir jemand die Aufgaben, den Sinn dahinter und den Weg zur "Lösung" (Welche auch immer das sein mag) im Detail erklären?
Vielen Dank im voraus
Andi
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Hallo Tauphi,
der Zweck dieser Aufgabe ist es wohl, die sog. kartesische Form einer komplexen Zahl und die Exponentialform (Polarform) einer komplexen Zahl ineinander umrechnen zu können.
$z = a + bi = [mm] |z|*e^{i\varphi} [/mm] = [mm] |z|*(cos(\varphi)+isin(\varphi))$ [/mm]
$|z| [mm] =\wurzel{a^2+b^2}$ [/mm]
[mm] $\varphi [/mm] = arctan [mm] \bruch{b}{a}$ [/mm] , wobei der Quadrant der komplexen Zahl zu berücksichtigen ist:
I. Quadrant: [mm] $\varphi [/mm] = arctan [mm] \left(\bruch{b}{a}\right)$
[/mm]
II. / III. Quadrant: [mm] $\varphi [/mm] = arctan [mm] \left(\bruch{b}{a}\right)+\pi$
[/mm]
IV. Quadrant: [mm] $\varphi [/mm] = arctan [mm] \left(\bruch{b}{a}\right)+2pi$
[/mm]
Hier soll der Winkel im Intervall [mm] [0,2\pi) [/mm] liegen.
a) praktischerweise potenziert man komplexe Zahlen i. a. in der Polarform. ( Fehlt da ein i in der Klammer ?)
b) Vermutlich fehlt da ein i im Nenner. Die Brüche sind dann mit dem konjugiert komplexen Nenner zu erweitern, auf dass der Nenner reell werde.
c) Potenzieren und dann in die kartesische Form umwandeln durch "Ausmultiplizieren".
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen
1) [mm] z=(1-\wurzel{3}i)^{5}
[/mm]
2) [mm] z=\bruch{4i+3}{(2-i)}+\bruch{2}{(1-3i)^{2}}
[/mm]
3) [mm] z=(2*e^{3.2i})^{5} [/mm] |
Hallo Martinius,
danke für die Hinweise, die letzten beiden Aufgaben hatte ich tatsächlich falsch abgeschrieben ... Habe sie hier nochmals reinkopiert ... diesmal korrekt ...
Zu deiner Antwort ...
>
> a) praktischerweise potenziert man komplexe Zahlen i. a. in
> der Polarform. ( Fehlt da ein i in der Klammer ?)
>
> b) Vermutlich fehlt da ein i im Nenner. Die Brüche sind
> dann mit dem konjugiert komplexen Nenner zu erweitern, auf
> dass der Nenner reell werde.
>
> c) Potenzieren und dann in die kartesische Form umwandeln
> durch "Ausmultiplizieren".
>
>
Leider verstehe ich die Erklärung nicht so recht ... könntest du mir das anhand der Aufgaben mal vorrechnen und zeigen, wie man die "löst"? Das ist mir leider noch alles etwas zu theoretisch
Danke im voraus
Grüße
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mo 24.03.2008 | | Autor: | algieba |
Hi
Bei uns in der Vorlesung wird der Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl so definiert:
[mm]z=a+ib[/mm]
[mm]Re(z)=a[/mm]
[mm]Im(z)=b[/mm]
das bedeutet, der Realteil ist der Teil der komplexen Zahl wo das i nicht steht, und der Imaginärteil der Teil der komplexen Zahl wo das i steht.
Du musst die drei Aufgaben also so umformen, das du sie in der Form [mm]a+ib[/mm] dastehen hast, dann kannst du den Real- und den Imaginärteil ganz einfach ablesen.
Das Umformen macht man normalerweise mit der komplexen Konjugation.
Allgemein bedeutet das:
[mm]\overline{x+iy}=x-iy[/mm]
Wenn du eine komplexe Zahl mit der komplexen Konjugation malnimmst, bekommst du eine reelle Zahl.
So kannst du die Brüche vereinfachen, und teilweise reell machen, damit du am Ende die Form [mm]a+ib[/mm] bekommst.
Viele Grüße
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Hallo Tauphi,
> Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen
> Zahlen
>
> 1) [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5}[/mm]
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> 2) [mm]z=\bruch{4i+3}{(2-i)}+\bruch{2}{(1-3i)^{2}}[/mm]
>
> 3) [mm]z=(2*e^{3.2i})^{5}[/mm]
1) [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5}[/mm]
$|z| = [mm] \wurzel{1^2+3} [/mm] = 2$
[mm] $\varphi [/mm] = [mm] arctan\left(\bruch{-\wurzel{3}}{1} \right)+2\pi=\bruch{5}{6}\pi$
[/mm]
[mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5} = \left(2*exp\left(i\bruch{5}{6}\pi \right) \right)^5 =2^5*exp\left(i\bruch{25}{6}\pi \right)[/mm]
Da die Polardarstellung [mm] 2\pi-periodisch [/mm] ist:
[mm]z=32*exp\left(i\bruch{1}{6}\pi \right) = 32*\left(cos\left(\bruch{1}{6}\pi\right)+isin\left(\bruch{1}{6}\pi\right)\right) = 32*\wurzel{\bruch{3}{4}}+16i[/mm]
2) [mm]z=\bruch{4i+3}{(2-i)}+\bruch{2}{(1-3i)^{2}}=\bruch{(3+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}+\bruch{2}{(1-6i-9)}=\bruch{(6+3i+8i-4)}{4+1}+\bruch{2}{(-8-6i)}[/mm]
[mm]z=\bruch{(2+11i)}{5}+\bruch{2*(-8+6i)}{(-8-6i)(-8+6i)}=\bruch{(2+11i)}{5}+\bruch{(-16+12i)}{64+36}=\bruch{(2+11i)}{5}+\bruch{(-16+12i)}{100}=\bruch{40+220i-16+12i}{100}[/mm]
$z = [mm] \bruch{24+208i}{100}=0,24+2,08i$
[/mm]
3) [mm]z=(2*e^{3.2i})^{5}=32*e^{16i} \approx 32*e^{2,54648*2\pi}=32*e^{0,54648*2\pi}=32*e^{1,092958*\pi}=32*(cos(1,092958*\pi)+isin(1,092958*\pi)[/mm]
$z= -30,6451-9,2129i$
Wenn Du an dem Winkel nicht interessiert bist, geht natürlich auch
[mm]z=(2*e^{3.2i})^{5}=32*e^{16i}=32*(cos(16)+isin(16)) = -30,6451-9,2129i[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 30.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi,
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> 1) [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5}[/mm]
>
> [mm]|z| = \wurzel{1^2+3} = 2[/mm]
>
> [mm]\varphi = arctan\left(\bruch{-\wurzel{3}}{1} \right)+2\pi=\bruch{5}{6}\pi[/mm]
>
> [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5} = \left(2*exp\left(i\bruch{5}{6}\pi \right) \right)^5 =2^5*exp\left(i\bruch{25}{6}\pi \right)[/mm]
>
> Da die Polardarstellung [mm]2\pi-periodisch[/mm] ist:
>
> [mm]z=32*exp\left(i\bruch{1}{6}\pi \right) = 32*\left(cos\left(\bruch{1}{6}\pi\right)+isin\left(\bruch{1}{6}\pi\right)\right) = 32*\wurzel{\bruch{3}{4}}+16i[/mm]
>
>
Die 2. und 3. Aufgabe konnte ich lösen und hab ich auch verstanden. Bei der ersten haperts immernoch stark bei mir.
Ich verstehe oben selbst den ersten Zwischenschritt nicht, wie du von [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5}[/mm] auf [mm]|z| = \wurzel{1^2+3} = 2[/mm] kommst.
Von den Schritten danach ganz zu schweigen *schäm*
Könntest du mir die mal im einzelnen etwas näher erläutern, was du da warum wie gemacht hast?
Vielen Dank im voraus und besonders für die bisherige Hilfe!
Lg
Andi
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Hallo Tauphi,
> Ahoi,
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> > 1) [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5}[/mm]
> >
> > [mm]|z| = \wurzel{1^2+3} = 2[/mm]
> >
> > [mm]\varphi = arctan\left(\bruch{-\wurzel{3}}{1} \right)+2\pi=\bruch{5}{6}\pi[/mm]
>
> >
> > [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5} = \left(2*exp\left(i\bruch{5}{6}\pi \right) \right)^5 =2^5*exp\left(i\bruch{25}{6}\pi \right)[/mm]
>
> >
> > Da die Polardarstellung [mm]2\pi-periodisch[/mm] ist:
> >
> > [mm]z=32*exp\left(i\bruch{1}{6}\pi \right) = 32*\left(cos\left(\bruch{1}{6}\pi\right)+isin\left(\bruch{1}{6}\pi\right)\right) = 32*\wurzel{\bruch{3}{4}}+16i[/mm]
>
> >
> >
>
> Die 2. und 3. Aufgabe konnte ich lösen und hab ich auch
> verstanden. Bei der ersten haperts immernoch stark bei
> mir.
> Ich verstehe oben selbst den ersten Zwischenschritt nicht,
> wie du von [mm]z=(1-\wurzel{3}i)^{5}[/mm] auf [mm]|z| = \wurzel{1^2+3} = 2[/mm]
> kommst.
[mm]z=\left(1-i*\wurzel{5}\right)^{5}=\left(z_{1}\right)^{5}[/mm]
Es ist [mm]\vmat{z_{1}}=\wurzel{\left(Re \ z_{1}\right)^{2}+\left(Im \ z_{1}\right)^{2}}[/mm]
,wobei Re [mm]z_{1}[/mm] der Realteil und Im [mm]z_{1}[/mm] der Imaginärteil von [mm]z_{1}[/mm] ist.
>
> Von den Schritten danach ganz zu schweigen *schäm*
> Könntest du mir die mal im einzelnen etwas näher
> erläutern, was du da warum wie gemacht hast?
Es gilt [mm]z_{1}=r*\cos\left(\varphi\right)+i*r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Demnach
[mm]r*\cos\left(\varphi\right)=1[/mm]
[mm]r*\sin\left(\varphi\right)=-\wurzel{3}[/mm]
Daraus ergibt sich [mm]\tan\left(\varphi\right)=-\wurzel{3}[/mm]
Also [mm]\varphi=\arctan\left(-\wurzel{3}\right)=-\bruch{\pi}{6}[/mm]
Da der Tangens [mm]\pi[/mm]-periodisch ist, lautet die korrekte Lösung:
[mm]\varphi=\arctan\left(-\wurzel{3}\right)=-\bruch{\pi}{6}+k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Weil [mm]\sin\left(\varphi\right) < 0 [/mm] und [mm]\cos\left(\varphi\right) > 0 [/mm] muß [mm] \bruch{3\pi}{2} < \varphi < 2\pi[/mm] gelten.
Deshalb ergibt sich: [mm]\varphi=-\bruch{\pi}{6}+2\pi=\bruch{5}{6}*\pi[/mm]
Also gilt: [mm]z_{1}=2*e^{i*\bruch{5}{6}*\pi}[/mm]
[mm]z=\left(2*e^{i*\bruch{5}{6}*\pi}\right)^{5}=2^{5}*\left(e^{i*\bruch{5}{6}*\pi}\right)^{5}=32*e^{i*\bruch{25}{6}*\pi}=32*e^{i*\bruch{1}{6}*\pi}[/mm]
[mm]=32*\left(\cos\left(\bruch{\pi}{6}\right)+i*\sin\left(\bruch{\pi}{6} \right)\right)=32*\left(\bruch{1}{2}*\wurzel{3}+i*\bruch{1}{2}\right)=16*\left(\wurzel{3}+i\right)=16*\wurzel{3}+i*16[/mm]
>
> Vielen Dank im voraus und besonders für die bisherige k
> Hilfe!
>
> Lg
> Andi
Gruß
MathePower
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