Real- imaginärteil bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Do 28.06.2012 | | Autor: | Lila26 |
| Aufgabe | | [mm] z=(\bruch{4i}{1+i})^5 [/mm] |
Hallo,
hab da ein wahrscheinlich sehr Triviales Problem, aber ich komm gerade nicht drauf...
also, man soll bei der obigen Zahl Real- Imaginärteil sowie Betrag und Argument bestimmen. Soweit sogut, dass ich komlex konjugiert erweitern muss usw. ist mir bekannt, letztendlich komm ich auf [mm] \wurzel{8}^5 [/mm] * [mm] e^{-i\bruch{3\pi}{4}} [/mm]
und nun mein Problem, wir dürfen keine Taschenrechner benutzen... wie zum Hen... soll ich jetzt aus [mm] \wurzel{8}^5 [/mm] was ja der Betrag ist, im KOPF über cos / sin den Re(z) und Im(z) rausbekommen?
Gibts da irgendeinen Trick???
Danke schonmal für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Do 28.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]z=(\bruch{4i}{1+i})^5[/mm]
> Hallo,
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> hab da ein wahrscheinlich sehr Triviales Problem, aber ich
> komm gerade nicht drauf...
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> also, man soll bei der obigen Zahl Real- Imaginärteil
> sowie Betrag und Argument bestimmen. Soweit sogut, dass ich
> komlex konjugiert erweitern muss usw. ist mir bekannt,
> letztendlich komm ich auf [mm]\wurzel{8}^5[/mm] *
> [mm]e^{-i\bruch{3\pi}{4}}[/mm]
>
> und nun mein Problem, wir dürfen keine Taschenrechner
> benutzen... wie zum Hen... soll ich jetzt aus [mm]\wurzel{8}^5[/mm]
> was ja der Betrag ist, im KOPF über cos / sin den Re(z)
> und Im(z) rausbekommen?
Das brauchst Du doch gar nicht
>
> Gibts da irgendeinen Trick???
Es ist [mm] i^5=i [/mm] und [mm] (1+i)^2=-2i
[/mm]
Edit: natürlich = 2i
Damit rechne mal.
FRED
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> Danke schonmal für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 28.06.2012 | | Autor: | Lila26 |
Sorry, das versteh ich grad net
was ist [mm] i^5 [/mm] = i und woher die [mm] (1+i)^2=-2i [/mm] ?
kannst du das bitte etwas mehr ausführen :)
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Hallo, fred ist oben ein kleiner Vorzeichenfehler unterlaufen
[mm] i^5=i*i*i*i*i=(-1)*(-1)*i=i
[/mm]
[mm] (1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i
[/mm]
bei fred stand versehentlich -2i
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 28.06.2012 | | Autor: | Lila26 |
ja, nur bringt mich das jetzt irgendwie nicht weiter, was soll ich mit i und 2i anfangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 28.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Berechne [mm] (1+i)^5 [/mm] so:
[mm] (1+i)^2*(1+i)^2(1+i)
[/mm]
Das lss auf $ [mm] z=(\bruch{4i}{1+i})^5 [/mm] $ los
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 28.06.2012 | | Autor: | Lila26 |
ich steh immernoch auf der Leitung... wie hilft mir das bei Re und Im? Umwandeln in Exponentialform fand ich schon immer sehr hilfreich... geht das nicht darüber?
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Hallo, du kennst schon
[mm] i^5=i [/mm] und [mm] (1+i)^2=2i
[/mm]
zu Aufgabe
[mm] \bruch{(4i)^5}{(1+i)^5}=\bruch{4^5*i^5}{(1+i)^2*(1+i)^2*(1+i)}=\bruch{1024*i}{2i*2i*(1+i)}
[/mm]
jetzt beschäftige dich mit dem Nenner, später mit der kojugiert komplexen Zahl zu (1+i) erweitern
Steffi
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Hi!
> [mm]z=(\bruch{4i}{1+i})^5[/mm]
> Hallo,
>
> hab da ein wahrscheinlich sehr Triviales Problem, aber ich
> komm gerade nicht drauf...
>
> also, man soll bei der obigen Zahl Real- Imaginärteil
> sowie Betrag und Argument bestimmen. Soweit sogut, dass ich
> komlex konjugiert erweitern muss usw. ist mir bekannt,
> letztendlich komm ich auf [mm]\wurzel{8}^5[/mm] *
> [mm]e^{-i\bruch{3\pi}{4}}[/mm]
>
> und nun mein Problem, wir dürfen keine Taschenrechner
> benutzen... wie zum Hen... soll ich jetzt aus [mm]\wurzel{8}^5[/mm]
> was ja der Betrag ist, im KOPF über cos / sin den Re(z)
> und Im(z) rausbekommen?
>
> Gibts da irgendeinen Trick???
>
> Danke schonmal für die Hilfe
Ich wäre die Aufgabe anders angegangen.
Ich hätte hier zunächst innerhalb der Klammer mit dem konjugiert komplexen (1-j) erweitert.
Also:
[mm]z=(\bruch{(4i) \red{\cdot (1-i)} }{(1+i) \red{\cdot (1-i)}})^5=(\bruch{4i+4 }2)^5)=(2i+2)^5=2^5(1+i)^5[/mm]
Wenn du nun (1+i) in die Eulerform umwandelst und die 5 mit Hilfe der Potenzgesetze reinmultiplizierst, müsste das passen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 28.06.2012 | | Autor: | Lila26 |
Hallo Valerie,
ja genau so hab ich das ja auch angefangen, soweit ja auch kein Problem. Nur wenn ich das dann in der Eulerform habe also
[mm] \wurzel{8}^5 [/mm] * [mm] e^{-i\bruch{3\pi}{4}}
[/mm]
dann hab ich das Problem wie ich OHNE TASCHENRECHNER von [mm] \wurzel{8}^5 [/mm] auf Re(z) und Im(z) komme alles andere ist mir klar...
Gruß
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Hi,
> Hallo Valerie,
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> ja genau so hab ich das ja auch angefangen, soweit ja auch
> kein Problem. Nur wenn ich das dann in der Eulerform habe
> also
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> [mm]\wurzel{8}^5[/mm] * [mm]e^{-i\bruch{3\pi}{4}}[/mm]
>
> dann hab ich das Problem wie ich OHNE TASCHENRECHNER von
> [mm]\wurzel{8}^5[/mm] auf Re(z) und Im(z) komme alles andere ist mir
> klar...
>
> Gruß
Du musst doch lediglich die [mm]e^{i\bruch{5\pi}{4}}[/mm] zurücktransformieren.
Es gilt [mm]e^{i\cdot\phi}=cos(\phi)+i\cdot sin(\phi)[/mm]
Dass kannst du dann noch ausrechnen mit Hilfe einer Tabelle in deiner Formelsammlung oder einfach so stehen lassen.
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