Re und Im von kompl. Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Takrash |
| Aufgabe 1 | | Bestimme den Imaginär- Realteil von [mm] \wurzel{i} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \wurzel{-3+4i} [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme beim Berechnen von komplexen Zahlen bzw. deren Imaginär und Realteil.
Aufg1) [mm] \wurzel{i}
[/mm]
a=0, b=1
[mm] r=\wurzel{0²+1²}=1
[/mm]
cosphi=0/1=0
sinphi=1/1=1
arcsin(1)=pi/2
z=1*(0+sin(pi/2))
z²=1*(0+sin(pi))
z²=sin(pi)
Wär ich damit fertig?
Aufgb2)
a=-3 b=4
[mm] r=\wurzel{(-3)²+4²}=5
[/mm]
z=5*(cos(arccos(-3/5))+sin(arcsin(4/5))
[mm] \wurzel{z}=\wurzel{5}*(2cos(arccos(-3/5))+2sin(arcsin(4/5))?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Takrash!
Du musst doch noch jeweils die Wurzel ziehen. Verwende dafür die  Moivre-Formel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Takrash |
Edit : War gerad etwas in Eile nun nochmal :
Bei der ersten Aufgabe
[mm] \wurzel{i} [/mm]
a=0, b=1
$ [mm] r=\wurzel{0²+1²}=1 [/mm] $
cosphi=0/1=0
sinphi=1/1=1
arcsin(1)=pi/2
z=1*(0+sin(pi/2))
[mm] \wurzel{z}=1*(sin(\pi/4)i) [/mm] ( Durch 2 wegen Moivre Formel )
Realteil wär dann 0, Imaginärteil [mm] sin(\pi/4)?
[/mm]
Bei der zweiten ist mir leider ein Tippfehler unterlaufen :
[mm] \wurzel{z}=\wurzel{5}\cdot{}(1/2*cos(arccos(-3/5))+1/2*sin(arcsin(4/5))?
[/mm]
Sollte es heißen.
Soweit richtig?
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Hallo Takrash,
> Edit : War gerad etwas in Eile nun nochmal :
> Bei der ersten Aufgabe
> [mm]\wurzel{i}[/mm]
> a=0, b=1
> [mm]r=\wurzel{0²+1²}=1[/mm]
> cosphi=0/1=0
> sinphi=1/1=1
> arcsin(1)=pi/2
> z=1*(0+sin(pi/2))
> [mm]\wurzel{z}=1*(sin(\pi/4)i)[/mm] ( Durch 2 wegen Moivre
> Formel )
> Realteil wär dann 0, Imaginärteil [mm]sin(\pi/4)?[/mm]
Da hast Du wohl etwas falsch verstanden:
[mm]i=1*\left( \ \cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i * \sin\left(\bruch{\pi}{2}\right) \ \right)[/mm]
Dann ist die Wurzel daraus:
[mm]\left(\ \wurzel{i} \ \right)_{k}=1*\left( \ \cos\left(\bruch{\bruch{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right) + i * \sin\left(\ \bruch{\bruch{\pi}{2}+2k\pi}{2} \ \right), \ k=0,1[/mm]
>
> Bei der zweiten ist mir leider ein Tippfehler unterlaufen
> :
>
> [mm]\wurzel{z}=\wurzel{5}\cdot{}(1/2*cos(arccos(-3/5))+1/2*sin(arcsin(4/5))?[/mm]
>
> Sollte es heißen.
> Soweit richtig?
>
>
Ist
[mm]z=r*e^{i\varphi}=r*\left( \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right)[/mm]
Dann ist
[mm]\left(\ \wurzel{z} \ \right)_{k}=\wurzel{r}*\left( \ \cos\left(\bruch{\varphi+2k\pi}{2}\right) + i * \sin\left(\ \bruch{\varphi+2k\pi}{2} \ \right), \ k=0,1[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Takrash |
Gut danke schonmal euch beiden.
Hatte die Moivre-Formel wohl falsch verstanden.
Nochmal zu 1.
Der Weg den du beschrieben hast ist gut nachvollziehbar.
Aber darf man das nicht auch so machen, wie ich es gemacht hatte?
Dachte z=a+bi=r(cos(phi)+i*sin(phi))
z=0+1*i
Also [mm] \wurzel{z}=1*(0+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+k*2\pi}{2}))
[/mm]
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Hallo Takrash,
> Gut danke schonmal euch beiden.
>
> Hatte die Moivre-Formel wohl falsch verstanden.
> Nochmal zu 1.
> Der Weg den du beschrieben hast ist gut nachvollziehbar.
> Aber darf man das nicht auch so machen, wie ich es gemacht
> hatte?
> Dachte z=a+bi=r(cos(phi)+i*sin(phi))
> z=0+1*i
> Also
> [mm]\wurzel{z}=1*(0+i*sin(\bruch{\bruch{\pi}{2}+k*2\pi}{2}))[/mm]
>
Das darfst Du nicht so machen.
Bedenke hier, daß
[mm]z=0+1*i=\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)+i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
Die Wurzel aus einer komplexen Zahl kannt Du auch ohne diese Formel ausrechnen.
Hier frage ich mich dann, welche komplexe Zahl c+di ergibt quadriert a+bi.
Demnach
[mm]\left(c+di\right)^{2}=a+bi[/mm]
Das ergibt dann folgendes Gleichungssystem:
[mm]c^{2}-d^{2}=a[/mm]
[mm]2cd=b[/mm]
Hier sind [mm]c,d \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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