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Rayleigh-Quotient: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:36 Di 26.04.2005
Autor: Wurzelpi

Hallo zusammen!

Ich habe da eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.

Sei [mm]A \in \IC^{nxn}[/mm] gegeben und zu [mm]x \in \IC^{n}[/mm] der Rayleigh-Quotient p(x) durch [mm]p(x) \equiv x^{\*}Ax/(x^{\*}x)[/mm] definiert.

Sei nun A hermitsch, also [mm]A^{\*}=A[/mm]. Sei [mm] \lambda[/mm] ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v mit [mm]||v||_{2}=1[/mm]. Zeige, dass ein [mm]C>0[/mm] existiert, so dass

[mm]|\lambda - p(x)| \le C*||v-x||_{2}^{2}[/mm] [mm]\forall x \in \IC^{n} mit ||x||_{2}=1[/mm].

Hinweis: [mm] C = max \{| \lambda - \lambda^{\sim}|: \lambda^{\sim} \in \sigma(A)\}[/mm] [mm](\lambda^{\sim}[/mm] soll Lambda-Schlange heißen)

Bislang habe ich auf der linken Seite angefangen und habe den Term auf die Form

[mm] |v^{\*}*lambda [/mm] *v- [mm] x^{\*}*A*x| [/mm]

Dabei habe ich den Rayleigh-Qutienten benutzt und die Tatsache, dass die 2-Norm beider Vektoren 1 ist.
Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Speziell she ich auch nicht, warum A ausgerechnet hermitisch sein muss.

Ich hoffe jemand hat eine Idee und kann mir weiterhelfen?




        
Bezug
Rayleigh-Quotient: diagonalisierbar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Mi 27.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo [mm] \wurzel{\pi}, [/mm]
>  Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Speziell she
> ich auch nicht, warum A ausgerechnet hermitisch sein muss.

Ich denke das genau wie hier eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Bzw. existiert U mit [mm] U^T=U^{-1} [/mm] und [mm] A=UDU^T [/mm] wobei die Spalten von U eben gerade die Eigenvektoren sind.
Folgendes könnte auch nützlich sein:
[mm]||x||_2=1 \gdw ||Ux||_2=1 \gdw ||U^Tx||_2=1[/mm]
Das waren meine Ideen. Lässt sich was draus machen?
gruß
mathemaduenn

Bezug
                
Bezug
Rayleigh-Quotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Mi 27.04.2005
Autor: Wurzelpi

Hallo!

Das ist sicherlich ein guter Tip.
Nur leider verstehe ich auch nicht ganz, wie ich vom Betrag auf die 2-Norm "wechseln kann"?

Vielleicht kann mir da noch jemand helfen?



Bezug
                        
Bezug
Rayleigh-Quotient: Gleichheit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mi 27.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo [mm] \wurzel{\pi}, [/mm]
Wenn nicht gerade jemand auf meiner Leitung steht sind die einfach gleich.
viele Grüße
mathemaduenn
Edit: natürlich nicht im allgemeinen aber im vorliegenden Fall.

Bezug
        
Bezug
Rayleigh-Quotient: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Mi 27.04.2005
Autor: Joergi

Hallo  [mm] \wurzel{\pi}! [/mm]

Ich habe es mal so versucht:

[mm]|\lambda - p(x)|[/mm]
= [mm]|\lambda - \bruch{x^{\*}Ax}{x^{\*}x}|[/mm]
= [mm]|\lambda - x^{\*}Ax|[/mm] da [mm]||x||_{2}=1[/mm]
= [mm]|v^{\*} v \lambda - x^{\*}Ax|[/mm] da [mm]||v||_{2}=1[/mm]
= [mm]|v^{\*} \lambda v - x^{\*}A^{\*}x|[/mm] da [mm] A^{\*}= A [/mm]
= [mm]|v^{\*} \lambda v - x^{\*}\lambda^{\*}x|[/mm]
= [mm]|(v^{\*}\lambda)^{\*}v - (x^{\*}\lambda^{\*})^{\*}x|[/mm]
= [mm]|\lambda^{\*}*vv - \lambda^{-}*xx|[/mm] da [mm]\lambda^{-} \in \sigma(A)[/mm]
= [mm]|\lambda*vv - \lambda^{-}xx|[/mm] da [mm]Av = \lambda*v \Rightarrow A^{\*}v = \lambda^{\*}v \Rightarrow \lambda = \lambda^{\*}[/mm]
= [mm]|\lambda*v^{2} - \lambda^{-}x^{2}|[/mm]
[mm] \le[/mm]  [mm] |\lambda - \lambda^{-}|*||v-x||^{2}_{2}[/mm]
[mm] \le[/mm]  [mm]max_{\lambda^{-} \in \sigma(A)} |\lambda - \lambda^{-}|*||v-x||^{2}_{2}[/mm]
= [mm]C*||v-x||^{2}_{2}[/mm].

Weiß nicht ob es stimmt, ist nur ein Ansatz! Kannst ja mal drüber schauen!

Gruß

Joergi


Bezug
                
Bezug
Rayleigh-Quotient: Ungleichung nicht gültig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Mi 27.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Joergi,
> = [mm]|\lambda*v^{2} - \lambda^{-}x^{2}|[/mm]
>   [mm]\le[/mm]  [mm]|\lambda - \lambda^{-}|*||v-x||^{2}_{2}[/mm]

Das stimmt i.A. nicht Bsp.: reelle Zahlen x=v=1 , [mm] \lambda=2 [/mm]   ,  [mm] \lambda^-=1 [/mm]
gruß
mathemaduenn

Bezug
                        
Bezug
Rayleigh-Quotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Mi 27.04.2005
Autor: Wurzelpi

Hi!

Danke, dass Du uns hilfst!

Im ähnlichen Stile wei Jörg habe ich das auch versucht.
Ich komme aber zu keiner sauberen Formulierung.

Fällt DIr da ein Weg ein?




Bezug
                                
Bezug
Rayleigh-Quotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Do 28.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Wurzelpi,
Ich hatte folgende Idee:
Betrachte eine Transformation des Problems in den Vektorraum der die Eigenvektoren von A als Basis hat. Dann wird die Abbildung durch eine Diagonalmatrix beschrieben. und ||v-x|| wäre Einheitsvektor minus x. Das sollte die Argumentation vereinfachen.
Noch ein []link Allerdings steht da positiv definit. Ob/Wie man das auf nicht positiv definite Matrizen übertragen kann weiß ich auch nicht.

viele Grüße
mathemaduenn

Bezug
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