Rauminhalt eines Vierflachs < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben eine Aufgabe bekommen, mit der ich absolut nichts anfangen kann:
Wie groß ist der Rauminhalt des Vierflachs, das die Ebene E = x + 3y + 2z = 6 vom ersten Oktanten abschneidet?
Ich hab keine Ahnung mehr, wie man die Gleichung in eine vektorielle Schreibweise überführen kann oder ist das gar net notwendig?! Ich kapier auch nicht, wo die Ebene wie abgeschnitten wird und was das mit dem 1. Oktanten zu tun hat... Ich weiß nur, dass alle Punkte, deren 3 Koordinaten positive Werte haben, im 1. Oktanten liegen.
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Heidschnucke
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Hi, Heidschnucke,
> Wie groß ist der Rauminhalt des Vierflachs, das die Ebene
> E = x + 3y + 2z = 6 vom ersten Oktanten abschneidet?
> Ich hab keine Ahnung mehr, wie man die Gleichung in eine
> vektorielle Schreibweise überführen kann oder ist das gar
> net notwendig?!
Stimmt: Ist gar nicht notwendig!
(Aber: Wenn Du's trotzdem wissen möchtest, stell's bitte als eigene Frage in einem neuen Strang!)
Du brauchst erst mal die Eckpunkte des Vierflachs.
Der eine davon ist natürlich der Ursprung O(0/0/0)
Die andern drei sind die Schnittpunkte Deiner Ebene mit den Koordinatenachsen, also die Achsenabschnittspunkte.
Diese kannst Du mit Hilfe der Achsenabschnittsform der Ebene ermitteln, oder - wenn Du die nicht mehr kennst - indem Du entsprechende Koordinaten =0 setzt.
Z.B. haben ja alle Punkte auf der x-Achse die Form (a/ 0 / 0), d.h. y- und z- Koordinaten sind =0.
Daher setzt Du y=z=0 in die Ebenengleichung und kriegst:
x +3*0 + 2*0 = 6; also: x=6 und damit: A(6 / 0 / 0)
Analog die beiden anderen:
B(0 / 2 / 0) und C(0 / 0 / 3)
Dein Vierflach hat im Ursprung nur rechte Winkel (mach' mal 'ne Skizze!).
Daher kannst Du's mit den Formeln der Mittelstufe berechnen:
V = [mm] \bruch{1}{3}*Grundfläche*Höhe
[/mm]
Als Grundfläche nimmst Du das Dreieck OAB (nicht ABC! Das macht's viel zu schwierig!), als Höhe die Strecke [mm] \overline{OC}.
[/mm]
(Zur Kontrolle: V = 6)
mfG!
Zwerglein
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