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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mi 20.04.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Sei $ (X,||.||) $ ein halbnormierter Raum. Zeigen Sie, dass X vollständig ist, genau dann, wenn für jede Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] in $ X $ mit [mm] \sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||<\infty [/mm] existiert $ [mm] x\in [/mm] X $ mit $ [mm] ||x-\sum_{k=1}^{n}x_{k}||\to [/mm] 0 $ |
Hallo!
Also die Hinrichtung erscheint mir klar, denn es ist
[mm] ||\sum_{k=1}^{n}x_{k}-\sum_{k=1}^{m}x_{k}||=||\sum_{k=min(n,m)+1}^{max(n,m)}x_{k}||\le \sum_{k=min(n,m)+1}^{max(n,m)}||x_{k}||<\varepsilon [/mm] für geeignete Wahl von n und m, da diese Reihe endlich ist.
Nun aber die Rückrichtung: Wie findet man für eine Cauchy-Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] einen Grenzwert?
Definiere [mm] y_{n}:=x_{n}-x_{n-1} [/mm] mit [mm] x_{0}:=0 [/mm]
Dann ist [mm] \sum_{k=1}^{n}y_{n}=x_{n}, [/mm] also ist [mm] \sum_{k=1}^{\infty}y_{k} [/mm] GW von [mm] (x_{n})
[/mm]
Warum aber ist [mm] \sum_{n=1}^{\infty}||y_{n}||<\infty
[/mm]
Für ein paar Cauchyfolgen in [mm] \IR [/mm] hab ichs ausprobiert und es scheint hinzuhauen, aber mir ist nicht klar, warum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Do 21.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](X,||.||)[/mm] ein halbnormierter Raum. Zeigen Sie, dass X
> vollständig ist, genau dann, wenn für jede Folge
> [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] in [mm]X[/mm] mit
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}||x_{n}||<\infty[/mm] existiert [mm]x\in X[/mm] mit
> [mm]||x-\sum_{k=1}^{n}x_{k}||\to 0[/mm]
> Hallo!
>
> Also die Hinrichtung erscheint mir klar, denn es ist
> [mm]||\sum_{k=1}^{n}x_{k}-\sum_{k=1}^{m}x_{k}||=||\sum_{k=min(n,m)+1}^{max(n,m)}x_{k}||\le \sum_{k=min(n,m)+1}^{max(n,m)}||x_{k}||<\varepsilon[/mm]
> für geeignete Wahl von n und m, da diese Reihe endlich
> ist.
>
> Nun aber die Rückrichtung: Wie findet man für eine
> Cauchy-Folge [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] einen Grenzwert?
schau' mal in Dirk Werners Funktionalanalysis, da steht der Beweis drin. Die Idee ist die folgende:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] CF in [mm] $X\,.$ [/mm] Setze [mm] $\epsilon_k=1/2^k$ [/mm] (allg. kann man auch irgendein $0 < q < 1$ anstelle von [mm] $1/2\,$ [/mm] wählen) für jedes $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Wegen der Cauchyfolgeneigenschaft kannst Du zu jedem [mm] $k\,$ [/mm] ein [mm] $N_k$ [/mm] finden mit [mm] $\|x_n-x_m\| [/mm] < [mm] \epsilon_k=1/2^k\,,$ [/mm] sofern $n,m [mm] \ge N_k\,.$ [/mm]
Daraus folgt dann die Existenz einer Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $$\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\| [/mm] < [mm] \epsilon_k\,.$$
[/mm]
Die Folge [mm] $(y_k)_k$ [/mm] mit [mm] $y_k:=x_{n_{k+1}}-x_{n_k}$ [/mm] erfüllt die Voraussetzungen (beachte, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty (1/2)^k< \infty$ [/mm] (genauer: die linke Reihe hat den Wert [mm] $=(1/2)/(1-\;1/2)=1$)), [/mm] d.h.
[mm] $$\sum \|y_k\| [/mm] < [mm] \infty\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $\sum y_k$ [/mm] gegen ein $y [mm] \in [/mm] X$ konvergent.
Daraus kann man folgern, dass [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] gegen ein Element aus [mm] $X\,$ [/mm] konvergiert. (Genauer: [mm] $x_{n_k} \to y+x_{n_1}$ [/mm] bei $k [mm] \to\infty\,$ [/mm] - beachte hierbei bitte, dass für jedes [mm] $M\,$ [/mm] die Summe [mm] $\sum_{k=1}^M y_k=\sum_{k=1}^M (x_{n_{k+1}}-x_{n_k})$ [/mm] den Wert [mm] $x_{n_{M+1}}-x_{n_1}$ [/mm] hat, Stichwort "Zieharmonikasumme" oder Teleskopsumme.)
Weil eine CF mit einer konvergenten Teilfolge selbst konvergent ist (der Beweis ist ein Einzeiler), folgt dann alles.
Gruß,
Marcel
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