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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Sa 02.02.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Gegeben sind die vier Elemente des P3
p1(x) = x2 − x, p2(x) = 2x3 − 3x + 1, p3(x) = x − 1 und p4(x) = x3 − x. V sei der Spann von p1, p2, p3 und p4.
(i) Bestimmen Sie dim V .
(ii) Geben Sie eine Basis von V an.
(iii) Stellen Sie q(x) = x3 − 1 als Linearkombination dieser Basis dar. |
Hallo zusammen,
Zu (i): Ich habe erstmal alle Polynome spaltenweise in eine 4x4 Matrix gepackt und dann den Rang dieser Matrix bestimmt.
Leider Kriege ich das nicht hin die Matrix hier reinzuschreiben -.-
Der Rang war auf jeden Fall 3 und somit auch die Dimension von V.
Ich schreib einfach mal die Einträge hier hin ( nicht erwähnte Einträge sind Null)
[mm] a_{1,1}=1, a_{2,2}=1, a_{2,4}=\bruch{1}{2}, a_{3,3}=1 [/mm] , [mm] a_{3,4}=\bruch{1}{2} [/mm]
In den Spalten stehen ja von links nach rechts [mm] p_1 [/mm] ,..., [mm] p_4
[/mm]
Und in den Zeilen von oben nach unten [mm] x^{2}, x^{3}, [/mm] x, 1
Und dann haben wir in der Übung gesagt dass [mm] \bruch{1}{2}p_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}p_3 =p_4 [/mm] ist... Das sehe ich irgendwie noch nicht so ganz ein.(also beim nachrechnen selbstverständlich schon, aber wie ich das an der Matrix ablese nicht )
Wäre nett wenn mir das nochmal kurz jemand erklären könnte.
Gruß Marmik
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die vier Elemente des P3
> p1(x) = x2 − x, p2(x) = 2x3 − 3x + 1, p3(x) = x − 1
> und p4(x) = x3 − x. V sei der Spann von p1, p2, p3 und
> p4.
> (i) Bestimmen Sie dim V .
> (ii) Geben Sie eine Basis von V an.
> (iii) Stellen Sie q(x) = x3 − 1 als Linearkombination
> dieser Basis dar.
> Hallo zusammen,
> Zu (i):
> Ich habe erstmal alle Polynome spaltenweise in eine
> 4x4 Matrix gepackt und dann den Rang dieser Matrix
> bestimmt.
> Leider Kriege ich das nicht hin die Matrix hier
> reinzuschreiben -.-
> Der Rang war auf jeden Fall 3 und somit auch die Dimension
> von V.
>
> Ich schreib einfach mal die Einträge hier hin ( nicht
> erwähnte Einträge sind Null)
> [mm]a_{1,1}=1, a_{2,2}=1, a_{2,4}=\bruch{1}{2}, a_{3,3}=1[/mm] ,
> [mm]a_{3,4}=\bruch{1}{2}[/mm]
Hallo,
Du beschäftigst Dich mit der Gleichung [mm] ap_1+bp_2+cp_3+dp_4=0, [/mm] und
Du erhältst die Matrix
[mm]\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&\bruch{1}{2}\\
0&0&1&\bruch{1}{2}\\
0&0&0&0}[/mm]
Wir können hier ablesen:
Alle [mm] \vektor{a\\b\\c\\d} [/mm] mit [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=t*\vektor{0\\o.5\\0.5\\-1} [/mm] lösen die Gleichung.
Also wird die Gleichung auch für [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{0\\o.5\\0.5\\-1} [/mm] gelöst.
Das ergibt [mm] 0*p_1+0.5p_2+0.5p_3-1p_4=0, [/mm] und damit das, was Dir bishher nicht klar war.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 03.02.2013 | | Autor: | marmik |
Hi angela,
Vielen dank für deine Antwort.
Gruß marmik
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