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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich habe eine dringende Verständnisfrage bezüglich gebrochen rationaler Funktionen, bezüglich einer Klausur die ich morgen schreibe.
Es geht um eine Aufgabe, die nicht mehr besprochen wurde. Dabei sollte bei 3 Funktionen die Polynomdivision durchgeführt werden und der Zusammenhang zwischen den Graphen der ursprünglichen gebrochen rationalen Funktion und ganzrationalem Anteil A(x) hergestellt werden, und ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig interpretiert habe:
f(x) = [mm] \bruch{x^2-x+1}{x-1} \Rightarrow [/mm] x + [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
g(x) = [mm] \bruch{10x-38}{x-4} \Rightarrow [/mm] 10 + [mm] \bruch{2}{x-4}
[/mm]
p(x) = [mm] \bruch{x^3-5x^2-50}{2x-10} \Rightarrow \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{25}{x-5}
[/mm]
Ich hoffe mal ich habe mich nicht vertippt... Bei A(x) von g(x) handelt es sich meiner Meinung nach um die waagrechte Asymptote. Bei f(x) handelt es sich auf jeden Fall um eine Symmetrieachse, handelt es sich hierbei ebenfalls um eine waagrechte Asymptote?
Bei p(x) gestaltet sich das ganze als noch etwas schwieriger, da A(x) hier ebenfalls ein Polynom (höheren Grades...) darstellt. Ich bin mir nicht sicher ob man hier irgendwie den Asymptotenbegriff mit einbringen kann, scheinbar ist es aber eine Näherungsfunktion für x [mm] \to \infty.
[/mm]
Ich wäre dankbar wenn ihr mir sagen könnten, ob meine Interpretationen richtig sind und ob der ganzrationale Anteil eventuell immer die waagrechte Asymptote darstellt.
mfg,
Dark.Spirit
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Hallo Dark.Spirit,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo.
> Ich habe eine dringende Verständnisfrage bezüglich
> gebrochen rationaler Funktionen, bezüglich einer Klausur
> die ich morgen schreibe.
>
> Es geht um eine Aufgabe, die nicht mehr besprochen wurde.
> Dabei sollte bei 3 Funktionen die Polynomdivision
> durchgeführt werden und der Zusammenhang zwischen den
> Graphen der ursprünglichen gebrochen rationalen Funktion
> und ganzrationalem Anteil A(x) hergestellt werden, und ich
> bin mir nicht sicher ob ich das richtig interpretiert
> habe:
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^2-x+1}{x-1} \Rightarrow[/mm] x +
> [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]
> g(x) = [mm]\bruch{10x-38}{x-4} \Rightarrow[/mm] 10 +
> [mm]\bruch{2}{x-4}[/mm]
> p(x) = [mm]\bruch{x^3-5x^2-50}{2x-10} \Rightarrow \bruch{1}{2}x^2[/mm]
> - [mm]\bruch{25}{x-5}[/mm]
>
> Ich hoffe mal ich habe mich nicht vertippt... Bei A(x) von
> g(x) handelt es sich meiner Meinung nach um die waagrechte
> Asymptote. Bei f(x) handelt es sich auf jeden Fall um eine
> Symmetrieachse, handelt es sich hierbei ebenfalls um eine
> waagrechte Asymptote?
Wieso ist das bei f(x) eine Symmetrieachse?
Für [mm]x\;\to\;\infty[/mm] verhält sich die Funktion f(x) wie eine Gerade. In diesem Fall spricht man von einer schiefen Asymptote.
Bei g(x) ist y=10 in der Tat eine waagrechte Asymptote.
>
> Bei p(x) gestaltet sich das ganze als noch etwas
> schwieriger, da A(x) hier ebenfalls ein Polynom (höheren
> Grades...) darstellt. Ich bin mir nicht sicher ob man hier
> irgendwie den Asymptotenbegriff mit einbringen kann,
> scheinbar ist es aber eine Näherungsfunktion für x [mm]\to \infty.[/mm]
Da hast Du vollkommen recht.
>
> Ich wäre dankbar wenn ihr mir sagen könnten, ob meine
> Interpretationen richtig sind und ob der ganzrationale
> Anteil eventuell immer die waagrechte Asymptote darstellt.
Der ganzrationale Anteil stellt immer eine Näherungsfunktion für [mm]x\;\to\;\infty[/mm] dar.
>
> mfg,
> Dark.Spirit
>
Gruß
MathePower
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Vielen Dank für die schnelle Antwort, ich kann mir nämlich gut vorstellen dass unser Lehrer am Rande sowas wie einen Kurzbeweis dafür will dass der ganzrationale Anteil eine Näherungsfunktion für x [mm] \to \infty [/mm] ist 
Nun nochmal kurz zu A(x) von h(x): Im Asymptoten-Artikel in Wikipedia steht, man kann eventuell auch Polynome als schräge Asymptoten zulassen (ich nehme an der Begriff ist äquivalent zu "schiefen Asymptoten"). In diesem Fall wäre der ganzrationale Anteil von h(x) ebenfalls eine schiefe Asymptote, kann man das so sagen?
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Hallo Dark.Spririt,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort, ich kann mir nämlich
> gut vorstellen dass unser Lehrer am Rande sowas wie einen
> Kurzbeweis dafür will dass der ganzrationale Anteil eine
> Näherungsfunktion für x [mm]\to \infty[/mm] ist
>
> Nun nochmal kurz zu A(x) von h(x): Im Asymptoten-Artikel in
> Wikipedia steht, man kann eventuell auch Polynome als
> schräge Asymptoten zulassen (ich nehme an der Begriff ist
> äquivalent zu "schiefen Asymptoten"). In diesem Fall wäre
> der ganzrationale Anteil von h(x) ebenfalls eine schiefe
> Asymptote, kann man das so sagen?
Ja, das ist gleichbedeutend.
Gruß
MathePower
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