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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 14.09.2007 | | Autor: | ArDa |
Ich habe eine Frage, undzwar: Als relative Extrempunkte folgen ein Hochpunkt = (-1/-4) und ein Tiefpunkt T = (1/0),
jetzt steht in der Aufgabe kurze Begründung angeben. Wieso
gibt es keine Wendepunkte ? Weil...
Falls es euch weiterhelfen sollte: y=(x-1)²/x
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Hallo ArDa!
Was weißt Du denn über den Zusammenhang zwischen Wendestellen und 2. Ableitung? Ist diese Bedingung (das sogenannte "notwendige Kriterium) erfüllt?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Fr 14.09.2007 | | Autor: | ArDa |
Ein Wendepunkt ist ein Punkt in einer Kurve, wo sich die Richtung der Kurve ändert. D. h. wenn die Kurve vorher nach rechts gekrümmt war, krümmt sich die Kurve hinterher nach links.
Dort, wo die Ableitungsfunktion am extremsten ist (also wo sie einen Extrempunkt hat), ist ein Wendepunkt vorhanden. Die Extremwerte für eine Funktion berechnete man durch ihre Ableitung, die der Ableitung also durch die zweite Ableitung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 14.09.2007 | | Autor: | ArDa |
Ein Wendepunkt ist ein Punkt in einer Kurve, wo sich die Richtung der Kurve ändert. D. h. wenn die Kurve vorher nach rechts gekrümmt war, krümmt sich die Kurve hinterher nach links.
Dort, wo die Ableitungsfunktion am extremsten ist (also wo sie einen Extrempunkt hat), ist ein Wendepunkt vorhanden. Die Extremwerte für eine Funktion berechnete man durch ihre Ableitung, die der Ableitung also durch die zweite Ableitung.
Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein:
f(x) = 0
f(x)un= 0
Kann man das so formulieren ?
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Hallo ArDa!
> Ein Wendepunkt ist ein Punkt in einer Kurve, wo sich die
> Richtung der Kurve ändert. D. h. wenn die Kurve vorher nach
> rechts gekrümmt war, krümmt sich die Kurve hinterher nach
> links.
>
> Dort, wo die Ableitungsfunktion am extremsten ist (also wo
> sie einen Extrempunkt hat), ist ein Wendepunkt vorhanden.
> Die Extremwerte für eine Funktion berechnete man durch ihre
> Ableitung, die der Ableitung also durch die zweite
> Ableitung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein:
>
> f(x) = 0
>
> f(x)un= 0
Das stimmt bedingt. Die Eigenschaft [mm] $f'''(x_w)\not=0$ [/mm] ist lediglich ein hinreichendes Kriterium; d.h. es kann auch ein Wendepunkt vorliegen, wenn [mm] $f'''(x_w)=0$ [/mm] gilt.
Notwendig ist allerdings die Bedingung [mm] $f''(x_w) [/mm] \ = \ 0$ !
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo ArDa!
Zurück zu unserer Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{(x-1)^2}{x}$ [/mm] ... gibt es denn Nullstellen der 2. Ableitung: $f''(x) \ = \ 0$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 14.09.2007 | | Autor: | ArDa |
Also die erste Ableitung y'=1+1/x² und y"=-2/x³, aber was hat das jetzt mit y"=0 zu tun ? Oder muss etwa die zweite Ableitung 0 ergeben, damit es einen Wendepunkt geben kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo ArDa,
ich weiss nicht so recht, wie Du auf diese Ableitungen gekommen bist, aber sie sind sicherlich verkehrt. Die Regel zum Ableiten eines Quotienten lautet:
$$ [mm] (\bruch{u(x)}{v(x)})^{'} [/mm] = [mm] \bruch{u^{'}(x) v(x) - u(x) v^{'}(x)}{v^{2}(x)} \, [/mm] . $$
Viel Spaß beim Rechnen,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Ripischiep |
Hallo,
bin neu im Forum. Ich finde es sehr interessant und gelungen. Hier die Rechnung:
F(x) [mm] =[(x-1)^2]/x
[/mm]
F(x) [mm] =[x*2*(x-1)-(x-1)^2]/x^2 =[2x^2 -2x-x^2 +2x-1]/x^2 =(x^2 -1)/x^2
[/mm]
F(x) [mm] =[x^2 [/mm] *2x- [mm] (x^2 -1)*2x]/x^4 =[2x^3 [/mm] [mm] 2x^3 +2x]/x^4 =2x/x^4 =2/x^3
[/mm]
F(x) [mm] =[-2*3x^2]/x^6 =-6x^2/x^6 =-6/x^4
[/mm]
F(x) hat deswegen keine Wendepunkte(WPs) , da die notwendige Bedingung für WPs
F(x) =0 für kein x erfüllt ist.
(Ich hoffe es sind keine Rechenfehler drin)
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> Wieso gibt es keine Wendepunkte ? Weil...
Hast du denn schon einmal den Graphen der Funktion gezeichnet?
Dann siehst du, wieso es möglich sein kann, dass trotz vorhandenem Hoch- und Tiefpunkt kein Wendepunkt existiert.
Und dann kannst du es auch rechnerisch lösen: Um den Wendepunkt izu finden, musst du die 2. Ableitung NULL setzen.
Das wäre hier [mm] \bruch{2}{x^{3}}=0
[/mm]
Ein Bruch ist dann gleich NULL, wenn der Zähler Null ist. Da aber niemals 2 gleich 0 werden kann, gibt es auch keinen Wendepunkt.
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> Hast du denn schon einmal den Graphen der Funktion
> gezeichnet?
> Dann siehst du, wieso es möglich sein kann, dass trotz
> vorhandenem Hoch- und Tiefpunkt kein Wendepunkt existiert.
Hallo,
das ist ein ganz wichtiger Hinweis, den rabilein hier gibt, und ich rate Dir, ArDa, die Funtion wirklich mal zu zeichnen.
Denn beim ersten Nachdenken ist es ja recht unverständlich, wie das sein kann, daß zwischen Minimum und Maximum kein Wendepunkt liegt.
Klar kann man das einfach ausrechnen, aber um es wirklich zu verstehen, muß man es gesehen - begriffen - haben. Finde ich.
Gruß v. Angela
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