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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Sei 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in \IR^n. [/mm] Bestimme die Ränge der Matrizen x [mm] x^t [/mm] und [mm] x^t [/mm] x. |
[mm] x^t [/mm] x = [mm] x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2
[/mm]
[mm] rank(x^t [/mm] x ) =1
x [mm] x^t [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\\vdots\\x_n} \vektor{x_1&x_2&..&x_n}= \pmat{ x_1^2 & x_1 * x_2 &..&x_1 x_n\\ x_2 x_1 & x_2^2 &..&x_2 x_n \\ \vdots\\x_n x_1 & x_n x_2 &..&x_n^2}
[/mm]
Wie ist das nun mit dem Rank ??
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei 0 [mm]\not=[/mm] x [mm]\in \IR^n.[/mm] Bestimme die Ränge der Matrizen x
> [mm]x^t[/mm] und [mm]x^t[/mm] x.
> [mm]x^t[/mm] x = [mm]x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2[/mm]
> [mm]rank(x^t[/mm] x ) =1
ja, nur, ich würde hier einfach der Deutlichkeit wegen bzgl. der Aufgabe
schreiben
[mm] $$x^tx=(x_1^2+...+x_n^2)\,.$$
[/mm]
Natürlich kann man eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix mit ihrem Eintrag identifizieren, aber weil in der Aufgabe von Matrizen die Rede ist, würde
ich eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix hier auch noch als Matrix schreiben.
> x [mm]x^t[/mm] = [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\\vdots\\x_n} \vektor{x_1&x_2&..&x_n}= \pmat{ x_1^2 & x_1 * x_2 &..&x_1 x_n\\ x_2 x_1 & x_2^2 &..&x_2 x_n \\ \vdots\\x_n x_1 & x_n x_2 &..&x_n^2}[/mm]
>
> Wie ist das nun mit dem Rank ??
na, das ist doch einfach, Du hast nur zu weit gerechnet, deswegen siehst
Du's gar nicht mehr:
$$x [mm] x^t=\pmat{x_1*x^t\\x_2*x^t\\.\\.\\.\\x_n*x^t}\,.$$
[/mm]
Das zeigt doch, dass jede Zeile ein Vielfaches des Zeilenvektors [mm] $x^t$ [/mm] ist. Also?
P.S.
[mm] $x_1*x^t$ [/mm] ist die Multiplikation der Skalaren [mm] $x_1$ [/mm] mit dem Zeilenvektor
[mm] $x^t\,.$ [/mm] Also nicht an irgendein "Skalarprodukt" (zwischen zwei Vektoren)
denken!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
danke,
rank ist also zweimal 1 ;)
LG,
quasimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke,
> rank ist also zweimal 1 ;)
genau. Nur einmal hat man eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix, das andere Mal
eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix!
Gruß,
Marcel
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