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| Aufgabe | Seien [mm] A\in M_{k,n}(\IR), B\inM_{n,l}(\IR), C\inM_{l,p}(\IR). [/mm]
Zeige das gilt:
[mm] rg(AB)+rg(BC)\le [/mm] rg(B)+rg(ABC) |
Hallo zusammen!
Ich habe mir, wie bei ähnlichen Beweisen, zunächst folgende Abbildungen definiert (obwohl ich noch nicht weiß ob ich sie alle brauchen werde):
[mm] \Phi_A: \IK^{n}\to\IK^{k}, v\mapsto [/mm] Av
[mm] \Phi_B: \IK^{l}\to\IK^{n}, v\mapsto [/mm] Bv
[mm] \Phi_C: \IK^{p}\to\IK^{l}, v\mapsto [/mm] Cv
[mm] \Phi_{1}: Im(\Phi_B)\to\IK^{k}, v\mapsto [/mm] Av
[mm] \Phi_{2}: Im(\Phi_C)\to\IK^{n}, v\mapsto [/mm] Bv
Ich habe mir gedacht ich zeige:
(i) [mm] rg(AB)\le [/mm] rg(B)
(ii) [mm] rg(BC)\le [/mm] rg(ABC)
weil ich dann (i) und (ii) zu der Beh. zusammensetzen kann.
Zu (i) habe ich:
[mm] dim(Im(\Phi_B))=dim(Im(\Phi_{1}))+dim(Ker(\Phi_{1})) [/mm] (Rangsatz)
(weil [mm] dim(Ker(\Phi_{1})) \ge [/mm] 0) [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] dim(Im(\Phi_B))\ge dim(Im(\Phi_{1})) [/mm]
[mm] \gdw rg(B)\ge [/mm] rg(AB)
Bei (ii) bekomme ich auf diese Weise nicht weiter, andere Ideen habe ich nicht.
Führt es zum Ziel, so wie ich es vorhabe? Und wie könnte ich weiter machen?
Grüße, Kulli
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Ich muss hinzufügen, dass ich mir gar nicht sicher bin, ob diese Ungleichung für allgemeine Formate bewiesen werden kann. Vielleicht geht es ja doch nur bei quadratischen Matrizzen! Über die Formate der Matrizzen wusste ich nämlich nichts, die habe ich einfach allgemein so formuliert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Fr 10.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]A\in M_{k,n}(\IR), B\inM_{n,l}(\IR), C\inM_{l,p}(\IR).[/mm]
>
> Zeige das gilt:
>
> [mm]rg(AB)+rg(BC)\le[/mm] rg(B)+rg(ABC)
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe mir, wie bei ähnlichen Beweisen, zunächst
> folgende Abbildungen definiert (obwohl ich noch nicht weiß
> ob ich sie alle brauchen werde):
>
> [mm]\Phi_A: \IK^{n}\to\IK^{k}, v\mapsto[/mm] Av
>
> [mm]\Phi_B: \IK^{l}\to\IK^{n}, v\mapsto[/mm] Bv
>
> [mm]\Phi_C: \IK^{p}\to\IK^{l}, v\mapsto[/mm] Cv
>
> [mm]\Phi_{1}: Im(\Phi_B)\to\IK^{k}, v\mapsto[/mm] Av
>
> [mm]\Phi_{2}: Im(\Phi_C)\to\IK^{n}, v\mapsto[/mm] Bv
>
> Ich habe mir gedacht ich zeige:
>
> (i) [mm]rg(AB)\le[/mm] rg(B)
Das kannst du zeigen. Das ist der einfache Rangsatz.
> (ii) [mm]rg(BC)\le[/mm] rg(ABC)
Das stimmt im Allgemeinen nicht.
Du musst schon beides zusammen zeigen, ansonsten klappt es eben nicht.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 12.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]A\in M_{k,n}(\IR), B\inM_{n,l}(\IR), C\inM_{l,p}(\IR).[/mm]
>
> Zeige das gilt:
>
> [mm]rg(AB)+rg(BC)\le[/mm] rg(B)+rg(ABC)
Ich wuerd so vorgehen:
Waehle eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] von [mm] $\IR^n$ [/mm] wie folgt:
* [mm] $v_1, \dots, v_k$ [/mm] ist eine Basis vom Bild von $B C$
* [mm] $v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_\ell$ [/mm] ist eine Basis vom Bild von $B$
Dann ist $rg(B) = [mm] \ell$ [/mm] und $rg(B C) = k$, und du musst $rg(A B) + k [mm] \le \ell [/mm] + rg(A B C)$ zeigen.
Weiterhin ist $A [mm] v_1, \dots, [/mm] A [mm] v_k$ [/mm] ein EZS von $Im(A B C)$ und $A [mm] v_1, \dots, [/mm] A [mm] v_\ell$ [/mm] ein EZS von $Im(A B)$: es gillt eindeutig [mm] $\dim [/mm] Im(A B C) [mm] \le \dim [/mm] Im(A B) [mm] \le \dim [/mm] Im(A B C) + [mm] (\ell [/mm] - k)$.
Wenn du die letzte Ungleichung umschreibst, hast du die Behauptung.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:02 Mo 13.02.2012 | | Autor: | kullinarisch |
> Moin!
Hi! Die Antwort hilft sehr, ich habe trotzdem noch ein paar Fragen:
> > Seien [mm]A\in M_{k,n}(\IR), B\inM_{n,l}(\IR), C\inM_{l,p}(\IR).[/mm]
> >
> > Zeige das gilt:
> >
> > [mm]rg(AB)+rg(BC)\le[/mm] rg(B)+rg(ABC)
>
> Ich wuerd so vorgehen:
>
> Waehle eine Basis [mm]v_1, \dots, v_n[/mm] von [mm]\IR^n[/mm] wie folgt:
>
> * [mm]v_1, \dots, v_k[/mm] ist eine Basis vom Bild von [mm]B C[/mm]
Wie kommst du gerade auf k? Das ist ja die Anzahl der Zeilen von A. Es könnten doch auch weniger Basiselemente geben als k oder?
> * [mm]v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_\ell[/mm]
> ist eine Basis vom Bild von [mm]B[/mm]
Und wieso hier gerade l Basiselemente von Im(B)? Wenn l=10 und n=2, dann multipliziere ich ja an B Vektoren einer Basis mit 10 Elementen. Das Bild von B ist doch aber nur 2 dimensional und nicht 10 dimensional? Also wenn ich die einzelnen Basisvektoren (k Stück) durch B abbilde, kann es doch passieren, dass die Bilder dieser Basisvektoren nicht mehr linear unabhängig sind. Ganz so, wie es für l=10 und n=2 beispielsweise wäre!?
Also ich verstehe nur nicht so ganz wie du auf die entsprechenden Anzahlen der jeweiligen Basiselemente kommst und das ist hier ja die entscheidene Idee, so wie ich das sehe. Der Rest scheint mir einleuchtend zu sein.
Grüße, kulli
> Dann ist [mm]rg(B) = \ell[/mm] und [mm]rg(B C) = k[/mm], und du musst [mm]rg(A B) + k \le \ell + rg(A B C)[/mm]
> zeigen.
>
> Weiterhin ist [mm]A v_1, \dots, A v_k[/mm] ein EZS von [mm]Im(A B C)[/mm] und
> [mm]A v_1, \dots, A v_\ell[/mm] ein EZS von [mm]Im(A B)[/mm]: es gillt
> eindeutig [mm]\dim Im(A B C) \le \dim Im(A B) \le \dim Im(A B C) + (\ell - k)[/mm].
>
> Wenn du die letzte Ungleichung umschreibst, hast du die
> Behauptung.
>
> LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mo 13.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Seien [mm]A\in M_{k,n}(\IR), B\inM_{n,l}(\IR), C\inM_{l,p}(\IR).[/mm]
> > >
> > > Zeige das gilt:
> > >
> > > [mm]rg(AB)+rg(BC)\le[/mm] rg(B)+rg(ABC)
> >
> > Ich wuerd so vorgehen:
> >
> > Waehle eine Basis [mm]v_1, \dots, v_n[/mm] von [mm]\IR^n[/mm] wie folgt:
> >
> > * [mm]v_1, \dots, v_k[/mm] ist eine Basis vom Bild von [mm]B C[/mm]
>
> Wie kommst du gerade auf k? Das ist ja die Anzahl der
> Zeilen von A. Es könnten doch auch weniger Basiselemente
> geben als k oder?
>
> > * [mm]v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_\ell[/mm]
> > ist eine Basis vom Bild von [mm]B[/mm]
>
> Und wieso hier gerade l Basiselemente von Im(B)?
Ich sehe, offenbar waren $k$ und [mm] $\ell$ [/mm] schon vergeben. Such dir einfach zwei andere Buchstaben aus, etwa $a$ und $b$. Es soll einfach $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] n$ gelten.
LG Felix
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