Rang von inversen Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 03.11.2013 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Seien A und B (nxn) Matrizen mit AB = In. Zeige, dass der Rang von A dann gleich n ist! |
| Aufgabe 2 | | Sei B eine (nxn) Matrix mit Rang n. Dann gibt es eine (nxn) Matrix C mit BC = In! Beweis! |
| Aufgabe 3 | | Seien A und B (nxn) Matrizen mit AB = In. Dann ist B invertierbar und es gibt A = B-1. Verwende die beiden vorherigen Aufgaben zum Beweis. |
Hi!
Für Aufgabe 1 wäre mein Ansatz, dass [mm] A*\vec{x}=\vec{b} [/mm] eindeutig sein muss, da ja die Inverse einer Matrix eindeutig ist.
Daraus folgt, dass die Spalten l.ua. sein müssen, und daraus folgt wieder, dass jede Spalte von A eine Pivotposition besitzen muss. Also ist rg(A)=n!
Stimmt das? Falls ja, vielleicht könntet ihr mir den weg dorthin ein wenig verständnissvoller beschreiben.
Für Aufgabe 2 hätte ich einen ähnlichen Weg, nur eben umgekehrt, also, dass aus rg(B)=n folgt, dass [mm] A*\vec{x}=\vec{b} [/mm] für jeden [mm] \vec{b} [/mm] höchstens eine Lösung besitzt. Also ist [mm] A*\vec{x}=\vec{b} [/mm] eindeutig, was mich dazu bringt, dass eine inverse zu B existiert.
Bin mir jedoch wieder unsicher, und würde euch bitten, den Weg dorthin verständnissvoll zu beschreiben. :)
Aufgabe 3 klingt für mich einfach, da wenn A*B = In ist ja B = A-1, bzw A = B-1 ist.
Aber wie sollte ich diese Aufgabe mithilfe der beiden vorherigen beweisen??
Bin dankbar für jede Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mo 04.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Seien A und B (nxn) Matrizen mit AB = In. Zeige, dass der
> Rang von A dann gleich n ist!
> Sei B eine (nxn) Matrix mit Rang n. Dann gibt es eine
> (nxn) Matrix C mit BC = In! Beweis!
> Seien A und B (nxn) Matrizen mit AB = In. Dann ist B
> invertierbar und es gibt A = B-1. Verwende die beiden
> vorherigen Aufgaben zum Beweis.
> Hi!
Die Beweise waeren leichter zu beurteilen, wenn ich wuesste, welche Saetze aus der Vorlesung bekannt sind. Habt ihr bewiesen, dass eine quadratische Matrix mit vollem Rang invertierbar ist? Weisst Du, dass Zeilenrang= Spaltenrang ist?
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> Für Aufgabe 1 wäre mein Ansatz, dass [mm]A*\vec{x}=\vec{b}[/mm]
> eindeutig sein muss, da ja die Inverse einer Matrix
> eindeutig ist.
Was meinst Du mit eindeutig? Woher kommt ploetzlich eine Inverse?
> Daraus folgt, dass die Spalten l.ua. sein müssen, und
> daraus folgt wieder, dass jede Spalte von A eine
> Pivotposition besitzen muss. Also ist rg(A)=n!
Wo benutzt Du eigentlich die Voraussetzung?
> Stimmt das? Falls ja, vielleicht könntet ihr mir den weg
> dorthin ein wenig verständnissvoller beschreiben.
>
> Für Aufgabe 2 hätte ich einen ähnlichen Weg, nur eben
> umgekehrt, also, dass aus rg(B)=n folgt, dass
> [mm]A*\vec{x}=\vec{b}[/mm] für jeden [mm]\vec{b}[/mm] höchstens eine
> Lösung besitzt. Also ist [mm]A*\vec{x}=\vec{b}[/mm] eindeutig, was
Hoechstens eine Loesung heisst aber grundsaetzlich nicht, dass fuer jede rechte Seite eine Loesung existiert. Oder doch?
> mich dazu bringt, dass eine inverse zu B existiert.
Siehe oben: Welchen Saetz benutzt Du hier?
> Bin mir jedoch wieder unsicher, und würde euch bitten,
> den Weg dorthin verständnissvoll zu beschreiben. :)
>
> Aufgabe 3 klingt für mich einfach, da wenn A*B = In ist ja
> B = A-1, bzw A = B-1 ist.
Damit $B= [mm] A^{-1}$ [/mm] ist, muss $AB= BA= [mm] I_{n}$ [/mm] gelten. Welche Saetze kennst Du, die die Invertierbarkeit einer Matrix garantieren?
> Aber wie sollte ich diese Aufgabe mithilfe der beiden
> vorherigen beweisen??
>
> Bin dankbar für jede Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Wir sollten aufgrund folgenden Satzes beweisen:
Satz: sei A(mxn) Matrix, dann sind folgende Aussagen gleichwertig
(i) die LH der Spalten von A ist der [mm] \IRm
[/mm]
(ii) $ [mm] A\cdot{}\vec{x}=\vec{b} [/mm] $ besitzt für jedes [mm] \vec{b} \in \IRm [/mm] eine Lösung
(iii)rg(A)= m (Anzahl der Zeilen)
(iv) in der red. ZSF von A findet man keine Nullzeile
(v) in jeder Zeile von A findet man eine Pivotposition
Dass eine quadratische Matrix mit vollem Rang invertierbar ist, haben wir noch nicht bewiesen!
Die Inverse entnehme ich aus der Angabe (A*B=In heißt ja, dass B die Inverse zu A ist)
Da A invertierbar ist, ist die Lösung von $ [mm] A\cdot{}\vec{x}=\vec{b} [/mm] $ ja
[mm] \vec{x} [/mm] = A-1 * [mm] \vec{b}, [/mm] und diese Lösung muss ja eindeutig sein!
Für inverse Matrizen haben wir noch folgende Hinweise aufgeschrieben:
- sind alle Spalten von A l.ua., dann ist A invertierbar!
- inverse Matrizen sind immer eindeutig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 08.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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