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| Aufgabe | Sei K ein Körper und v ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f: V -> V ein Endomorphismus mit f(f(v))=0.
a) Zeigen Sie, dass Rang(f) [mm] \le \bruch{n}{2}
[/mm]
b) Seien r, n natürliche Zahlen mit 2r [mm] \le [/mm] n. Konstruieren Sie einen Enomorphismus f: [mm] K^{n} [/mm] -> [mm] K^{n} [/mm] mit f(f(v))=0 und Rang(f)=r. |
N'Abend,
ich hab bei dieser Aufgabe ehrlich gesagt nicht die leiseste Ahnung.
Wo kann ich ansetzen? Was kann ich hier ausnutzen um aufs Ergebnis zu kommen?
Ich wär für nen Tipp sehr dankbar!
Gruß, Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Hans!
> Sei K ein Körper und v ein n-dimensionaler K-Vektorraum und
> f: V -> V ein Endomorphismus mit f(f(v))=0.
> a) Zeigen Sie, dass Rang(f) [mm]\le \bruch{n}{2}[/mm]
> b) Seien r, n
> natürliche Zahlen mit 2r [mm]\le[/mm] n. Konstruieren Sie einen
> Enomorphismus f: [mm]K^{n}[/mm] -> [mm]K^{n}[/mm] mit f(f(v))=0 und
> Rang(f)=r.
> N'Abend,
>
> ich hab bei dieser Aufgabe ehrlich gesagt nicht die
> leiseste Ahnung.
> Wo kann ich ansetzen? Was kann ich hier ausnutzen um aufs
> Ergebnis zu kommen?
> Ich wär für nen Tipp sehr dankbar!
Damit $f(f(v)) = 0$ fuer alle $v [mm] \in [/mm] V$ ist, muss [mm] $\mathrm{img} [/mm] f [mm] \subseteq \ker [/mm] f$ gelten (das ist notwendig und hinreichend dafuer).
Bei a) kannst du also die Dimensionsformel benutzen.
Und bei b) waehle doch erstmal $V = [mm] K^n$ [/mm] und schreibe eine ganz einfache Matrix $A [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] hin, die [mm] $\mathrm{Rang} [/mm] A = r$ und [mm] $A^2 [/mm] = 0$ erfuellt. (Waehle die Matrix ganz einfach, am besten gleich schon in Zeilenstufenform mit nur den ersten $r$ Zeilen [mm] $\neq [/mm] 0$.)
LG Felix
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Hallo,
danke erstmal für die Antwort.
Die Dimensionsformel geht ja:
dim V = dim Bild(f) + dim Kern(f)
Also ist Rang(f) = n - dim Kern(f) und somit < n. Aber woran sehe ich denn, dass er < n/2 ist??
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Fr 11.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> danke erstmal für die Antwort.
> Die Dimensionsformel geht ja:
>
> dim V = dim Bild(f) + dim Kern(f)
> Also ist Rang(f) = n - dim Kern(f) und somit < n. Aber
> woran sehe ich denn, dass er < n/2 ist??
du weisst, dass $Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(f)$ ist, also [mm] $\dim [/mm] Bild(f) [mm] \le \dim [/mm] Kern(f)$ gilt. Damit gilt $n = [mm] \dim [/mm] V = [mm] \dim [/mm] Bild(f) + [mm] \dim [/mm] Kern(f) [mm] \le \dim [/mm] Kern(f) + [mm] \dim [/mm] Kern(f) = 2 [mm] \dim \Kern(f)$.
[/mm]
LG Felix
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