Rang einer Matrix mit Variable < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 So 19.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Für welche d [mm] \in [/mm] R hat die Matrix [mm] \pmat{ 1 & d & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & d^2 & 1}
[/mm]
den Spaltenang 3?
Welche anderen Spaltenränge können auftreten? Begründen Sie. Berechnen Sie für jeden auftretenden Fall auch den entsprechenden Zeilenrang explizit gemäß der Definition des Zeilenrangs. |
Ich würde sagen der Spaltenrang ist 3 für alle d [mm] \in [/mm] R außer d=1. Für d=1 ist der Spaltenrang 1 und der Rang 2 ist nicht möglich? Weil die Vektoren [mm] (1,1,1),(d,1,1),(1,1,d^2) [/mm] linear unabhängig sind für alle d [mm] \not= [/mm] 1
denn
a+bd+c=0 a+b+c=0 und [mm] a+b+cd^2=0 [/mm] ergibt d = b/b und [mm] d^2= b^2/b^2
[/mm]
und d =c/b und damit c/b=b/b und c=b für b [mm] \not= [/mm] 0, diese Gleichungen sind für d [mm] \not= [/mm] 1 nicht erfüllbar, also bleibt für c und b nur die triviale Lösung c=b=0 und damit auch a=0 und die Vektoren sind linear unabhängig für d [mm] \not= [/mm] 1. Zeilenrang ist doch immer gleich Spaltenrang und ergibt sich auch durch Umformung der Matrix? Kenn mich in dem Themenbereich noch nicht so aus, stimmt das einigermaßen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 19.01.2014 | | Autor: | Sax |
> Ich würde sagen der Spaltenrang ist 3 für alle d [mm]\in[/mm] R
> außer d=1.
Es gibt noch einen Fall, in dem der Spaltenrang nicht 3 ist.
> Für d=1 ist der Spaltenrang 1
Das stimmt
> und der Rang 2
> ist nicht möglich? Weil die Vektoren
> [mm](1,1,1),(d,1,1),(1,1,d^2)[/mm] linear unabhängig sind für alle
> d [mm]\not=[/mm] 1
> denn
>
> a+bd+c=0 a+b+c=0 und [mm]a+b+cd^2=0[/mm] ergibt d = b/b und [mm]d^2= b^2/b^2[/mm]
>
> und d =c/b und damit c/b=b/b und c=b für b [mm]\not=[/mm] 0, diese
> Gleichungen sind für d [mm]\not=[/mm] 1 nicht erfüllbar, also
> bleibt für c und b nur die triviale Lösung c=b=0 und
> damit auch a=0 und die Vektoren sind linear unabhängig
> für d [mm]\not=[/mm] 1.
Vielleicht findest du deinen Fehler selbst, wenn du mal den Fall d=-1 betrachtest.
> Zeilenrang ist doch immer gleich Spaltenrang
Ja, das ist er.
> und ergibt sich auch durch Umformung der
> Matrix? Kenn mich in dem Themenbereich noch nicht so aus,
> stimmt das einigermaßen?
Laut Aufgabenstellung sollst du hier genau diejenige Berechnungsmethode anwenden (es gibt ziemlich viele davon), die in eurer Vorlesung gelehrt wurde (welche auch immer das sein mag).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 19.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Ah ja für d = -1 lassen sich die Gleichungenauch lösen, also sind die 3 Vektoren nur linear unabhängig für d [mm] \not= [/mm] -1, 1. Für d = -1 ist der Spaltenrang dann 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 19.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
diese Lösung stimmt.
Gruß Sax.
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