Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche momentan den Rang einer Matrix in Abhängigkeit eines Parameters zu bestimmen:
[mm] \pmat{ 5 & -4 & a-1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ a & -3 & 3a & 2 \\ 2 & -2 & -1 & 1 }
[/mm]
In der Lösung wird diese Matrix scheinbar in die Zeilenstufenform gebracht. Gleich beim ersten "Schritt" ist mir nicht klar, welche Umformung da gemacht wird.
[mm] \pmat{ 5 & -4 & a-1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ a & -3 & 3a & 2 \\ 2 & -2 & -1 & 1 } \rightArrow
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & -5 & 3 \\ 0 & -4 & a-11 & 6 \\ 0 & -3 & a & a+2 }
[/mm]
Wie kommen die da drauf? Ich hätte einfach die erste Zeile mit [mm] \frac{1}{5} [/mm] multipliziert und von der zweiten abgezogen. Dann die erste mit [mm] \frac{a}{5} [/mm] multipliziert und von der dritten abgezogen ...
Darf ich überhaupt mit einer Variablen "a" multiplizieren? a könnte ja 0 sein dann ist auch [mm] \frac{a}{5} [/mm] = 0 und mit 0 darf ich keine Zeile multiplizieren. Die haben da doch sicher einen tollen Trick gemacht.
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Hallo abi2007LK,
nicht verwirren lassen 
Da sind gleich alle Umformungen in einem Schritt gemacht worden.
Im Einzelnen:
1. und 2. Zeile tauschen und dann jeweils durch Adddition eines entsprechenden Vielfachen der "neuen" 1. Zeile zu den anderen Zeilen den jeweils ersten Eintrag der anderen Zeilen auf 0 bringen.
(zB. das -5fache der "neuen" ersten Zeile zur zweiten addieren, das (-a)-fache der "neuen" ersten Zeile zur dritten addieren usw.)
Dann nochmal wild Zeilen tauschen...
Ok soweit?
Versuch's mal aufzudröseln
LG
schachuzipus
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Hi nochmal,
noch zu deiner zweiten Frage - hatte ich gar nicht gesehen
Richtig ist, dass du eine Zeile nicht mit 0 multiplizieren darfst. Dann würdest du die Lösung verändern. Multiplikation einer Zeile mit einem Sklar [mm] \neq [/mm] 0 ist erlaubt
Erlaubt ist aber, ein beliebiges Vielfaches einer Zeile zu einer anderen zu addieren, also insbesondere auch das 0-fache einer Zeile zu einer anderen
In diesem "schlimmsten Fall" würdest du ja zu einer Zeile Null addieren, da passiert ja nix
Als dritte elementare Zeilenumformung ist das Vertauschen von 2 Zeilen erlaubt
Gruß
schachuzipus
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