Rang berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich möchte gerne zeigen, dass der Rang folgender Matrix maximal ist. Wie mache ich das? Hat jemand einen Tipp für mich? Habe schon versucht, die zweite Zeile minus die erste zu nehmen, und die dritte minus die erste und die vierte und so weiter, aber dann habe ich da schon etwas etwas Unhandliches stehen und weiß nicht, ob ich so wirklich zum Ziel komme, weil ich es kaum aufschreiben kann, weil es so durcheinander wird. Wer könnte mir einen Tipp geben?
[mm] \pmat{1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & ... & t_1^{n-1}\\1 & t_2 & t_2^2 & t_2^3 & ... & t_2^{n-1} \\ ... \\1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & ... & t_m^{n-1}}, [/mm] wobei die [mm] t_i, $1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ paarweise verschieden sind
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Hallo!
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> Ich möchte gerne zeigen, dass der Rang folgender Matrix
> maximal ist. Wie mache ich das? Hat jemand einen Tipp für
> mich? Habe schon versucht, die zweite Zeile minus die erste
> zu nehmen, und die dritte minus die erste und die vierte
> und so weiter, aber dann habe ich da schon etwas etwas
> Unhandliches stehen und weiß nicht, ob ich so wirklich zum
> Ziel komme, weil ich es kaum aufschreiben kann, weil es so
> durcheinander wird. Wer könnte mir einen Tipp geben?
>
> [mm]\pmat{1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & ... & t_1^{n-1}\\1 & t_2 & t_2^2 & t_2^3 & ... & t_2^{n-1} \\ ... \\1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & ... & t_m^{n-1}},[/mm]
> wobei die [mm]t_i,[/mm] [mm]1\le i \le n[/mm] paarweise verschieden sind
Hallo Bastiane,
daß Du schreibst, daß die " [mm] t_i, 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n " paarweise verschieden sind, ist mir ein Indiz dafür, daß in der letzen Zeile der Index n ist und nicht m. Dann hättest Du eine quadratische Matrix, die Vandermonde-Matrix. Von der kennst Du (im Idealfall...) die Determinante = [mm] \produkt_{i>j }(t_i-t_j) [/mm] oder Du rechnest sie aus. Wie auch immer, für paarweise verschiedene [mm] t_i [/mm] ist sie [mm] \not=0, [/mm] also ist der Rang maximal.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 15.12.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort - allerdings ist sie für meine Frage mit Vorsicht zu genießen...
> > Ich möchte gerne zeigen, dass der Rang folgender Matrix
> > maximal ist. Wie mache ich das? Hat jemand einen Tipp für
> > mich? Habe schon versucht, die zweite Zeile minus die erste
> > zu nehmen, und die dritte minus die erste und die vierte
> > und so weiter, aber dann habe ich da schon etwas etwas
> > Unhandliches stehen und weiß nicht, ob ich so wirklich zum
> > Ziel komme, weil ich es kaum aufschreiben kann, weil es so
> > durcheinander wird. Wer könnte mir einen Tipp geben?
> >
> > [mm]\pmat{1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & ... & t_1^{n-1}\\1 & t_2 & t_2^2 & t_2^3 & ... & t_2^{n-1} \\ ... \\1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & ... & t_m^{n-1}},[/mm]
> > wobei die [mm]t_i,[/mm] [mm]1\le i \le n[/mm] paarweise verschieden sind
> daß Du schreibst, daß die " [mm]t_i, 1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n " paarweise
> verschieden sind, ist mir ein Indiz dafür, daß in der
Wie kannst du das aus der Angabe mit dem paarweise verschieden schließen? Es steht nämlich extra in der Aufgabenstellung [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] und zu zeigen ist [mm] rang(A)=\min\{m,n\} [/mm] - demnach wird es auch wohl kaum ein Druckfehler sein sondern ist gewollt, dass [mm] m\not=n [/mm] sein kann. Und was mache ich dann? Dann kann ich keine Determinante berechnen... :-/
> letzen Zeile der Index n ist und nicht m. Dann hättest Du
> eine quadratische Matrix, die Vandermonde-Matrix. Von der
> kennst Du (im Idealfall...) die Determinante =
> [mm]\produkt_{i>j }(x_i-x-j)[/mm] oder Du rechnest sie aus. Wie auch
> immer, für paarweise verschiedene [mm]t_i[/mm] ist sie [mm]\not=0,[/mm] also
> ist der Rang maximal.
Dass das Ding Vandermonde-Matrix heißt, wusste ich schon, steht nämlich in der Überschrift. Allerdings scheint es dann auch wohl so zu heißen, wenn die Matrix nicht quadratisch ist, oder die Überschrift ist falsch. Und in der Literatur habe ich dazu gar nichts gefunden - im Netz auch nur sehr wenig, höchstens mal die Definition oder eine Aufgabe dazu aber nirgendwo einen brauchbaren Hinweis.
Deine Angabe der Determinante ist auch irgendwie seltsam, erstens hast du dich vertippt, und zweitens gibt es keine [mm] x_i's [/mm] sondern nur [mm] t_i's [/mm] und zusammen mit deinem Tippfehler hat mich das schon sehr verwirrt. Richtig muss es heißen:
[mm] \produkt_{1\le i
So, gewusst habe ich das also noch nicht, und jetzt wollte ich es beweisen. Ich denke, das müsste mit Induktion am besten zu machen sein, hab's mal beim Induktionsschritt mit Entwicklung nach der ersten Spalte versucht und habe da auch ein klein wenig was hinbekommen (weiß natürlich nicht, ob das so richtig ist), allerdings habe ich dann da eine Summe von Produkten stehen, die gleich einem Produkt sein sollen, und da weiß ich nicht so ganz, wie ich das dann noch zeigen soll. Aber wahrscheinlich kannst du mir da jetzt auch nichts mehr zu sagen, oder?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo!
> > > Ich möchte gerne zeigen, dass der Rang folgender Matrix
> > > maximal ist.
> > > [mm]\pmat{1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & ... & t_1^{n-1}\\1 & t_2 & t_2^2 & t_2^3 & ... & t_2^{n-1} \\ ... \\1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & ... & t_m^{n-1}},[/mm]
> > > wobei die [mm]t_i,[/mm] [mm]1\le i \le n[/mm] paarweise verschieden sind
>
> > daß Du schreibst, daß die " [mm]t_i, 1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n " paarweise
> > verschieden sind, ist mir ein Indiz dafür, daß in der
>
> Wie kannst du das aus der Angabe mit dem paarweise
> verschieden schließen?
Nee, ich dachte wegen des n, daß die m in der letzten Zeile vielleicht Schreibfehler sind.
Es steht nämlich extra in der
> Aufgabenstellung [mm]A\in\IR^{m\times n}[/mm] und zu zeigen ist
> [mm]rang(A)=\min\{m,n\}[/mm] - demnach wird es auch wohl kaum ein
> Druckfehler sein sondern ist gewollt, dass [mm]m\not=n[/mm] sein
> kann. Und was mache ich dann? Dann kann ich keine
> Determinante berechnen... :-/
>
> > letzen Zeile der Index n ist und nicht m. Dann hättest Du
> > eine quadratische Matrix, die Vandermonde-Matrix. Von der
> > kennst Du (im Idealfall...) die Determinante =
> > [mm]\produkt_{i>j }(x_i-x-j)[/mm] oder Du rechnest sie aus. Wie auch
> > immer, für paarweise verschiedene [mm]t_i[/mm] ist sie [mm]\not=0,[/mm] also
> > ist der Rang maximal.
>
>
> Richtig muß es heißen
> [mm] \produkt_{1\le i
Genau, ich war zwischen Tür und Angel, tut mir leid, wenn ich Dich verwirrt habe.
>
>..mit Induktion am
> besten zu machen sein,... Aber wahrscheinlich kannst du mir da
> jetzt auch nichts mehr zu sagen, oder?
Doch, wie man die Determinante im Quadratischen Fall berechnet kann ich Dir sagen, und wenn ich's mir so recht überlege, kommst Du mit haargenau denselben Umformungen dann auch bei Deiner Rechteckmatrix weiter.
Man macht eine Induktion, klar.
Wir haben also
[mm] \pmat{1 & t_1 & t_1^2 & t_1^3 & ... & t_1^{n-1}\\1 & t_2 & t_2^2 & t_2^3 & ... & t_2^{n-1} \\ ... \\1 & t_m & t_m^2 & t_m^3 & ... & t_m^{n-1}}
[/mm]
Durch Subtrahieren des [mm] t_1-fachen [/mm] der (j-1)-ten Spalte von der j-ten Spalte erhält man
[mm] \pmat{1 & 0 & 0& 0 & ... & 0 \\1 & t_2-t_1 & t_2^2-t_1t_2 & t_2^3-t_1t_2^2 & ... & t_2^{n-1}-t_1t_2^(n-2) \\ ... \\1 & t_m-t_1 & t_m^2-t_1t_m & t_m^3-t_1t_m^2 & ... & t_m^{n-1}-t_1t_m^{m-2}}.
[/mm]
Nun die erste Zeile von allen Zeilen abziehen ergibt
[mm] \pmat{1 & 0 & 0& 0 & ... & 0 \\0 & t_2-t_1 & t_2^2-t_1t_2 & t_2^3-t_1t_2^2 & ... & t_2^{n-1}-t_1t_2^(n-2) \\ ... \\0 & t_m-t_1 & t_m^2-t_1t_m & t_m^3-t_1t_m^2 & ... & t_m^{n-1}-t_1t_m^{m-2} }
[/mm]
[mm] =\pmat{1 & 0 & 0& 0 & ... & 0 \\1 & t_2-t_1 & (t_2-t_1)t_2 & (t_2-t_1)t_2^2 & ... & (t_2-t_1)t_2^(n-2) \\ ... \\1 & t_m-t_1 &( t_m^2-t_1)t_m & (t_m-t_1)t_m^2 & ... & (t_m-t_1)t_m^{m-2} }.
[/mm]
Für die Determinante im Falle n=m würde man nun nach der ersten Spalte entwickeln
und hätte det [mm] V_n=(t_2-t_1)(t_3-t_1)...(t_m-t-1) V_{n-1}, V_n [/mm] Vandermondematrix.
Für dein Problem kannst Du wegen der paarweise verschiedenen t-i jede Zeile durch [mm] (t_j-t-1) [/mm] dividieren. Jetzt käme die Induktionsvoraussetzung.
Zum Thema "Kondition" bin ich mal lieber stille. Numerik ist nicht so mein Ding.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Do 15.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Mit [mm] $r:=\min(n,m)$ [/mm] betrachtest du die $(r [mm] \times [/mm] r)$-Untermatrix links oben. Deren Determinante ist ungleich $0$ (es handelt sich ja um eine Vandermonde-Determinante), also sind die ersten $r$ Zeilen bzw. Spalten (je nachdem, was $r$ war) linear unabhängig und der Rang der Matrix maximal.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 15.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Schön, auch nochmal was von dir zu hören. Wollte dir
> eigentlich auch noch ne PN schicken und mal fragen, wie das
> überhaupt mit deinem Sohn so aussieht... 
Sehr gut, es geht ihm ausgezeichnet. Er ist sehr friedlich und lässt mich nachts in Ruhe schlafen. Ich musste heute nur ein einziges Mal gegen 3:00 Uhr aufstehen, um ihn zu wickeln. Das ist traumhaft! Nur schade, dass ich ihn in der Woche tagsüber nicht sehe, am liebsten würde ich ihn mit ins Büro nehmen! Danke für die Nachfrage!
> > Mit [mm]r:=\min(n,m)[/mm] betrachtest du die [mm](r \times r)[/mm]-Untermatrix
> > links oben. Deren Determinante ist ungleich [mm]0[/mm] (es handelt
> > sich ja um eine Vandermonde-Determinante), also sind die
> > ersten [mm]r[/mm] Zeilen bzw. Spalten (je nachdem, was [mm]r[/mm] war) linear
> > abhängig und der Rang der Matrix maximal.
Hier hatte ich mich verschrieben, es muss natürlich "linear unabhängig" heißen (hatte ich bereits verbessert).
Liebe Grüße
Stefan
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