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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Sprudel |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Rang der Matrix und markieren sie jeweil eine größte invertierbare Untermatrix.
A= [mm] \pmat{ -8 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & -3 & -8 } [/mm] |
Meine Lösung:
A = [mm] \pmat{ -8 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & -3 & -8 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -4 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & -3 \\ 3 & -3 & -8 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -8 & 2 & 2 \\ 0 & 19 & -9 \\ 0 & -9 & -29 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -76 & 0 & 28 \\ 0 & 19 & -9 \\ 0 & 0 & -632 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -19 & 0 & 7 \\ 0 & 19 & -9 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -19 & 0 & 0 \\ 0 & 19 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Die Matrix hat den Rang 3.
Das habe ich soweit verstanden. Allerdings verstehe ich nicht wie ich jetzt die größte invertierbare Untermatrix finden soll ???
Wär echt toll, wenn ihr mir helfen würdet... Dankeeee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe jetzt nicht genau deine Rechnung nachgeprüft, aber das Endergebnis ist richtig, der Rang der Matrix ist 3, also der Rang ist maximal.
Nun gilt doch Rang der Matrix ist maximal [mm] \gdw [/mm] die Matrix ist invertierbar.
Also hast du doch mit A schon eine riesige invertierbare Untermatrix von A gefunden. ;) Größer geht es nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Sprudel |
Also muss ich jetzt einfach die Matrix A markieren und kann schreiben, dass dies die größte Untermatrix ist.
Wie wäre es denn bei einer Matrix mit einem Rang 2 ??? Hab mir schon einige Definitionen angeschaut, verstehe das aber nicht so ganz :(
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Zur ersten Frage:
Ja, du sagt jetzt einfach "A ist die größte invertierbare Untermatrix von A"
Zur zweiten:
Wenn du jetzt eine 3x3-Matrix B mit Rang 2 hättest weißt du, dass diese nicht invertierbar ist, es gibt also keine invertierbare 3x3-Untermatrix.
Die nächstgrößere Zahl wäre die 2.
Und da B Rang 2 hat gibt es eine 2x2-Untermatrix, die invertierbar ist.
Wichtig ist hierbei, dass nicht jede 2x2-Untermatrix invertierbar sein muss.
Aus der Tatsache, dass B Rang 2 hat weißt du nur, dass es mindestens eine invertierbare 2x2-Untermatrix gibt (und keine invertierbare 3x3).
Mal am Beispiel:
[mm]B = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0}[/mm]
Offensichtlich hat diese Matrix Rang 2.
Streichst du nun die 3. Zeile und die 3. Spalte so hast du eine 2x2-Untermatrix, die invertierbar ist (und da B Rang 2 hat weißt du auch, dass diese maximal ist).
Streichst du hingegen zum Beispiel die 1. Zeile und 1. Spalte hast du eine 2x2-Untermatrix, die nicht invertierbar ist...
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Da wir auch gerade diese Thema haben stelle ich diese Frrage einfach mal hier rein.
Ich habe dein beispiel verstanden Shadowmaster, aber ich schaffe es nicht an dieser Matrix anzuwenden :
B = [mm] \pmat{ 7 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & -7 & -10 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
Diese hat ja den Rang 2:
Kann ich hier die erste und die zweite Spalte und die dritte und vierte Zeile wegstreichen und dann sagen, dass [mm] \pmat{ -2 & 5 \\ -10 & -1} [/mm] die Untermatrix ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
So kannst du es machen. Die 5 soll wohl eine 8 sein in deiner Untermatrix, aber ansonsten stimmt alles. Die 2x2-Matrix hat Rang 2 (also maximalen Rang) und ist deswegen invertierbar. Wenn ihr Determinanten hattet, kannst du das auch damit begründen, dass die Determinante der 2x2-Matrix ungleich 0 ist.
Die Matrix [mm] \pmat{ 7 & 0 \\ 0 & -7 } [/mm] hättest du auch nehmen können, da sieht man die Invertierbarkeit sogar leichter. Aber das ist in dem Fall ja auch nicht so schlimm, weil es so oder so recht einfach bei einer 2x2-Matrix zu prüfen ist.
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