Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mi 27.02.2013 | | Autor: | yonca |
| Aufgabe | Gegeben sei das inhomogene Randwertproblem
Ly:= [mm] p_{0}y'' [/mm] + [mm] p_{1}y' [/mm] + [mm] p_{2}y [/mm] = f [mm] p_{0}, p_{1}, p_{2} [/mm] stetig in [a, b], [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b]: [mm] p_0(x) \not= [/mm] 0
[mm] R_{1}(y) [/mm] := [mm] \alpha_{1}y(a) [/mm] + [mm] \alpha_{2}y'(a) [/mm] = 0 [mm] \alpha_{1}^2 [/mm] + [mm] \alpha_{2}^2 [/mm] > 0
[mm] R_{2}(y) [/mm] := [mm] \beta_{1}y(b) [/mm] + [mm] \beta_{2}y'(b) [/mm] = 0 [mm] \beta_{1}^2 [/mm] + [mm] \beta_{2}^2 [/mm] > 0
Ferner sei [mm] {y_{1}, y_{2}} [/mm] ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen DGL Ly = 0 und es gelte [mm] R_{1}(y_{1}) [/mm] = [mm] R_{2}(y_{2}) [/mm] = 0.
Zeigen Sie, dass die Determinante [mm] D:=det\pmat{ R_{1}(y_{1}) & R_{1}(y_{2}) \\ R_{2}(y_{1}) & R_{2}(y_{2}) }\not= [/mm] 0 ist. |
Hallo an alle,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich komme da nicht weiter. Also, es ist ja klar, dass nach Voraussetzung der Eintrag links oben und rechts unten in der Matrix null sind. Somit erhält man noch [mm] D=-R_{1}(y_{2})R_{2}(y_{1}) [/mm]
Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass dieser Ausdruck ungleich null ist und damit das Randwertproblem eindeutig lösbar ist.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?!
Viele Grüße,
Yonca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 27.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/num-gew-dgln/dgl8.pdf
Satz 8.7
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Do 28.02.2013 | | Autor: | fred97 |
kann es sein, dass Du eine Voraussetzung vergessen hast ?
Es gilt nämlich:
D [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] das zugeh. homogene RWP ist nur trivial lösbar.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:53 Do 21.03.2013 | | Autor: | yonca |
Hallo Fred,
sorry meine späte Antwort. Ich war länger krank, bin aber jetzt wieder auf die Aufgabe gestoßen.
Zu deiner Frage
> kann es sein, dass Du eine Voraussetzung vergessen hast ?
>
> Es gilt nämlich:
>
> D [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] das zugeh. homogene RWP ist nur trivial
> lösbar.
>
> FRED
Nein, ich habe keine Voraussetzung vergessen. Die Äquivalenz, die du genannt hast, war mir bereits bekannt und der Beweis, dass D [mm] \not= [/mm] 0 ist wäre ja trivial.
Bin deshalb leider auch bei der Lösung der Aufgabe auch noch nicht wirklich weiter gekommen. Wäre deshalb für einen weiteren Tipp sehr dankbar.
Deine erste Antwort, die auf Satz 8.7 im Skript verweist, ist doch wohl auch nur unter der Voraussetzung "das zugeh. homogene RWP ist nur trivial lösbar" nützlich, oder?
Viel Grüße,
Yonca
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 23.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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