Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:29 Mo 04.02.2008 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Bestimmen sie die exakte Lösung des Randwertproblems:
[mm] y''+2y'+y=4e^{x} [/mm] mit x [mm] \varepsilon [/mm] [0;1] und RB [mm] y_{0}=2 [/mm] und [mm] y_{2}=\bruch{e^{2}+1}{e} [/mm] |
Hi,
ich häng schon ne ganze Weile über der Aufgabe und komm nicht auf die Lösung.
Hab das so versucht:
1. Homogener Teil
charakteristisches Polynom: [mm] h^{2}+2h+1=0
[/mm]
Nullstellen: [mm] h_{1}=h_{2}=-1
[/mm]
So, das ist ne doppelte NS also lautet die Lösungsgesamtheit der homogenen DGL:
[mm] y_{H}=(A*x+B)*e^{-x}
[/mm]
2. Inhomogener Teil
Aus Formelsammlung: [mm] y_{S}=a*e^{x}
[/mm]
Koeffizientenvergleich: a=4
d.h. [mm] y_{S}=4*e^{x}
[/mm]
Lösung: [mm] y_{P}=y_{H}+y_{S}
[/mm]
[mm] y_{P}=(A*x+B)*e^{-x}+4*e^{x}
[/mm]
A und B hab ich dann über die Randbedingungen bestimmt:
B=-2 und A=-19,167
d.h.:
[mm] y_{P}=(-19,167*x-2)*e^{-x}+4*e^{x}
[/mm]
In der Musterlösung steht [mm] y=e^{-x}+e^{x}
[/mm]
Ich weiss nicht wo mein Fehler steckt. Hoffe mir kann jemand helfen. Danke!!!!!!
Oh, hab gleich noch ne Frage. Und zwar steht unter Aufgabenteil b:
Führen sie die Probe durch: Ist die DGL erfüllt und sind die Randbedingungen erfüllt?
Wie man überprüft ob die Randbedingungen erfüllt sind weiss ich, aber wie überprüft man ob die DGL erfüllt ist?
Gruß
Stefan
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Hallo Stefan,
puh, lange Ladezeiten im Moment 
deine Lösung zum inhomogenen Teil stimmt nicht.
Der Ansatz [mm] $y_S=ae^x$ [/mm] ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dann ist aber [mm] $y_S''+2y_S'+y_S=ae^x+2ae^x+ae^x=4ae^x$
[/mm]
Das soll [mm] $=4e^x$ [/mm] sein, also ist $a=1$
Dann wird ja eine Funktion im Intervall $[0,1]$ gesucht.
Die RWB sind also $y(0)=2$ und [mm] $y(1)=\frac{e^2+1}{e}$
[/mm]
Damit kommst du auch genau auf die Musterlösung
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
habe deine letzte Frage übersehen ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")
Die Probe, ob deine ermittelte Funktion $y(x)$ die DGL erfüllt, mache einfach durch Ableiten wie's in der DGL steht ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:59 Mo 04.02.2008 | | Autor: | polyurie |
wow super!!! Und das um diese Uhrzeit!! Danke
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