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Randwertaufgabe: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 So 22.07.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Gegeben ist die Randwertaufgabe u''(t)+f(t)=0, u(0)=ua, u(1)=ub mit gegebenem f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] .
f(x)=exp(2x)*(5*sin(3x)-12*cos(3x))

Erstellen Sie ein m-File, der diese RWA mit folgenden Diskretisierungen näherungsw. löst:
[mm] h=\bruch{1}{n+1} [/mm]
und der Differenzenformel:

u''(t) [mm] \approx \bruch{u(t+h)-2u(t)+u(t-h)}{h^2} [/mm]

- Deklarieren Sie n, ua, ub und f
- Stützstellenvektor t erstellen
- Matrix A erstellen mithilfe von diag
- rechte Seite rs erstellen
- [mm] u=A\rs [/mm] lösen

Näherungslösung und exakte Lösung plotten.
Exakte Lösung ist: u(x)=exp(2x)*sin(3x)




Hallo,

Das Gleichungssystem erstmal schriftlich:


$ [mm] u_{i-1}:=u\left(t-h\right) [/mm] $

$ [mm] u_{i}:=u\left(t\right) [/mm] $

$ [mm] u_{i+1}:=u\left(t+h\right) [/mm] $

[mm] u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}=-2h^2*f(t_{i}) [/mm]   Für i=1, ..., n-1

Dies wird eben in Au=rs in Matrixform umgeschrieben im Programm und anschließend nach u aufgelöst.



Könnte bitte jemand schauen ob es so korrekt ist?




Hier das Programm:
n=100;
ua=0;
ub=exp(2)*sin(3);
f=@(x)exp(2.*x).*(5.*sin(3.*x)-12.*cos(3.*x));
h=1/(n+1);


%t=0:h:1;
%t(:,1)=0:h:1;
t=0:h:1;
ti=t(2:n);



haupt=-2*ones(1,n-1);
neben=ones(1,n-2);
A=diag(haupt)+diag(neben,-1)+diag(neben,1);




for i=1 : +1: n-1
    [mm] rs(i,1)=-2*(h^2)*f(ti(i)); [/mm]
end

[mm] u=A\rs; [/mm]

hold on
plot(ti, u, 'b')
plot(ti, exakt(ti), 'r')
hold off;

        
Bezug
Randwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Mo 23.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Jack159,

> Gegeben ist die Randwertaufgabe u''(t)+f(t)=0, u(0)=ua,
> u(1)=ub mit gegebenem f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] .
>  f(x)=exp(2x)*(5*sin(3x)-12*cos(3x))
>  
> Erstellen Sie ein m-File, der diese RWA mit folgenden
> Diskretisierungen näherungsw. löst:
>  [mm]h=\bruch{1}{n+1}[/mm]
> und der Differenzenformel:
>  
> u''(t) [mm]\approx \bruch{u(t+h)-2u(t)+u(t-h)}{h^2}[/mm]
>
> - Deklarieren Sie n, ua, ub und f
>  - Stützstellenvektor t erstellen
>  - Matrix A erstellen mithilfe von diag
>  - rechte Seite rs erstellen
>  - [mm]u=A\rs[/mm] lösen
>  
> Näherungslösung und exakte Lösung plotten.
>  Exakte Lösung ist: u(x)=exp(2x)*sin(3x)
>  
>
>
> Hallo,
>  
> Das Gleichungssystem erstmal schriftlich:
>  
>
> [mm]u_{i-1}:=u\left(t-h\right)[/mm]
>  
> [mm]u_{i}:=u\left(t\right)[/mm]
>  
> [mm]u_{i+1}:=u\left(t+h\right)[/mm]
>  
> [mm]u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}=-2h^2*f(t_{i})[/mm]   Für i=1, ..., n-1
>  


Hier muss doch i von 1 bis n laufen, da [mm]h=\bruch{1}{n+1}[/mm].



> Dies wird eben in Au=rs in Matrixform umgeschrieben im
> Programm und anschließend nach u aufgelöst.
>  
>
>
> Könnte bitte jemand schauen ob es so korrekt ist?
>  
>
>
>
> Hier das Programm:
>  n=100;
>  ua=0;
>  ub=exp(2)*sin(3);
>  f=@(x)exp(2.*x).*(5.*sin(3.*x)-12.*cos(3.*x));
>  h=1/(n+1);
>  
>
> %t=0:h:1;
>  %t(:,1)=0:h:1;
>  t=0:h:1;
>  ti=t(2:n);
>  
>
>
> haupt=-2*ones(1,n-1);
>  neben=ones(1,n-2);


Hier muss es dann lauten:

haupt=-2*ones(1,n);
neben=ones(1,n-1);


>  A=diag(haupt)+diag(neben,-1)+diag(neben,1);
>  
>
>
>
> for i=1 : +1: n-1
>      [mm]rs(i,1)=-2*(h^2)*f(ti(i));[/mm]


Woher kommt hier die "2"?


>  end


Und dann lautet das so:

[mm] rs(1,1)=-(h^2)*f(ti(1))-ua; [/mm]
[mm] rs(n,1)=-(h^2)*f(ti(n))-ub; [/mm]

for i=2 : +1: n-1
     [mm] rs(i,1)=-(h^2)*f(ti(i)); [/mm]


>

> [mm]u=A\rs;[/mm]
>


Hier meinst Du wohl

u=A\rs;


> hold on
>  plot(ti, u, 'b')
>  plot(ti, exakt(ti), 'r')
>  hold off;


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Randwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Mo 23.07.2012
Autor: Jack159

Hallo MathePower,

Vielen Dank für deine Korrektur!


> > for i=1 : +1: n-1
>  >      [mm]rs(i,1)=-2*(h^2)*f(ti(i));[/mm]
>  
>
> Woher kommt hier die "2"?

Sorry, da habe ich mich vertan, die "2" gehört da nicht hin.

>
> >  end

>  
>
> Und dann lautet das so:
>  
> [mm]rs(1,1)=-(h^2)*f(ti(1))-ua;[/mm]
>  [mm]rs(n,1)=-(h^2)*f(ti(n))-ub;[/mm]
>  
> for i=2 : +1: n-1
>       [mm]rs(i,1)=-(h^2)*f(ti(i));[/mm]
>  
>
> >
>  > [mm]u=A\rs;[/mm]

>  >

>
>
> Hier meinst Du wohl
>  
> u=A\rs;

Genau, die falsche Darstellung lag hier an dem Formelsystem bzw. meiner ungeschickten Eingabe hier.




Zur Übersicht nochmal die verbesserte Version:


n=1000;
ua=0;
ub=exp(2)*sin(3);
f=@(x)exp(2.*x).*(5.*sin(3.*x)-12.*cos(3.*x));
h=1/(n+1);


%t=0:h:1;
%t(:,1)=0:h:1;
t=0:h:1;
ti=t(1:n);



e=-2*ones(1,n);
em1=ones(1,n-1);
A=diag(e)+diag(em1,-1)+diag(em1,1);



[mm] rs(1,1)=-(h^2)*f(t(1))-ua; [/mm]
[mm] rs(n,1)=-(h^2)*f(t(n))-ub; [/mm]

for i=2 : +1: n-1
    [mm] rs(i,1)=-(h^2)*f(ti(i)); [/mm]
end

u = A \ rs;

hold on
plot(ti, u, 'b')
plot(ti, exakt(ti), 'r')
hold off;



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