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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Randwertaufgabe
[mm] \Delta [/mm] u(x,y)=0 in G=[0,1]x[0,1]
u(x,0) = 0
u(x,1) = 0
u(0,y) = [mm] 1/100*sin(\pi*y)
[/mm]
u(1,y) = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Anfang der Aufgabe ist eigentlich klar. Die Dgl. [mm] \Delta [/mm] u(x,y) = [mm] u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy} [/mm] = 0 kann mit dem Produktansatz u(x,y) = X(x)Y(y) gelöst werden. Damit komme ich auf
(1) [mm] X^{''}(x)+\mu*X(x)=0
[/mm]
(2) [mm] Y^{''}(x)+\mu*Y(y)=0
[/mm]
Rechnen wir mit (1) weiter, so muss ich glaube ich die erste Randbedingung, [mm] u(0,y)=1/100*sin(\pi*y) [/mm] einarbeiten. Und hier fangen meine Probleme an. Bislang haben wir die Nullstellen von (1) bestimmt mit [mm] \lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\mu}, [/mm] wobei [mm] \mu [/mm] < 0 wahr. D.h. wir hatten eigentlich [mm] \lambda_{1,2}=\pm i*\wurzel{-\mu} [/mm] und somit die allgemeine Lösung für [mm] X(x)=C_1*cos(\wurzel{\mu}*x)+C_2*sin(\wurzel{\mu}*x). [/mm] Durch zwei Randbedingungen konnte man immer [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] bestimmen.
Nun ist es hier bei dieser Aufgabe jedoch so, dass bei der Fallunterscheidung von [mm] \mu [/mm] bereits für [mm] \mu [/mm] = 0 keine triviale Lösung mehr existiert, das heißt wir bekommen nun für [mm] \mu [/mm] = 0 unter Berücksichtigung der Randbedingungen [mm] u(0,y)=1/100*sin(\pi*y) [/mm] und u(1,y) = 0:
[mm] C_1=\bruch{1}{100*sin(\pi*y)} [/mm] und [mm] C_2=-C_1
[/mm]
Meine Lösung für X(x) hängt nun nicht mehr von k ab, wie es sonst der Fall wahr. Früher bei zwei Randbedingungen, deren rechte Seite Null wahr, erhielten wir immer [mm] X_k(x)=C_k*sin(k*\pi*x). [/mm] Nun jedoch: [mm] X(x)=\bruch{1}{100*sin(\pi*y)}+\bruch{1}{100*sin(\pi*y)}*x.
[/mm]
Wie muss ich denn nun weiterrechnen? Oder habe ich mich vertan? In der Literatur finde ich meistens gar keine Fallunterscheidung für [mm] \mu.
[/mm]
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Hallo pinky2010,
> Lösen Sie die folgende Randwertaufgabe
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> [mm]\Delta[/mm] u(x,y)=0 in G=[0,1]x[0,1]
> u(x,0) = 0
> u(x,1) = 0
> u(0,y) = [mm]1/100*sin(\pi*y)[/mm]
> u(1,y) = 0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Der Anfang der Aufgabe ist eigentlich klar. Die Dgl. [mm]\Delta[/mm]
> u(x,y) = [mm]u_{xx}[/mm] + [mm]u_{yy}[/mm] = 0 kann mit dem Produktansatz
> u(x,y) = X(x)Y(y) gelöst werden. Damit komme ich auf
>
> (1) [mm]X^{''}(x)+\mu*X(x)=0[/mm]
> (2) [mm]Y^{''}(x)+\mu*Y(y)=0[/mm]
Da die erste Gleichung ein "+" beinhaltet,
muß die 2. Gleichung ein "-" beinhalten.
Demnach lautet die 2. Gleichung:
[mm]Y^{''}(y)\red{-}\mu*Y(y)=0[/mm]
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> Rechnen wir mit (1) weiter, so muss ich glaube ich die
> erste Randbedingung, [mm]u(0,y)=1/100*sin(\pi*y)[/mm] einarbeiten.
> Und hier fangen meine Probleme an. Bislang haben wir die
> Nullstellen von (1) bestimmt mit [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\mu},[/mm]
> wobei [mm]\mu[/mm] < 0 wahr. D.h. wir hatten eigentlich
> [mm]\lambda_{1,2}=\pm i*\wurzel{-\mu}[/mm] und somit die allgemeine
> Lösung für
> [mm]X(x)=C_1*cos(\wurzel{\mu}*x)+C_2*sin(\wurzel{\mu}*x).[/mm] Durch
> zwei Randbedingungen konnte man immer [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm]
> bestimmen.
>
> Nun ist es hier bei dieser Aufgabe jedoch so, dass bei der
> Fallunterscheidung von [mm]\mu[/mm] bereits für [mm]\mu[/mm] = 0 keine
> triviale Lösung mehr existiert, das heißt wir bekommen
> nun für [mm]\mu[/mm] = 0 unter Berücksichtigung der
> Randbedingungen [mm]u(0,y)=1/100*sin(\pi*y)[/mm] und u(1,y) = 0:
>
> [mm]C_1=\bruch{1}{100*sin(\pi*y)}[/mm] und [mm]C_2=-C_1[/mm]
>
> Meine Lösung für X(x) hängt nun nicht mehr von k ab, wie
> es sonst der Fall wahr. Früher bei zwei Randbedingungen,
> deren rechte Seite Null wahr, erhielten wir immer
> [mm]X_k(x)=C_k*sin(k*\pi*x).[/mm] Nun jedoch:
> [mm]X(x)=\bruch{1}{100*sin(\pi*y)}+\bruch{1}{100*sin(\pi*y)}*x.[/mm]
>
> Wie muss ich denn nun weiterrechnen? Oder habe ich mich
> vertan? In der Literatur finde ich meistens gar keine
> Fallunterscheidung für [mm]\mu.[/mm]
Mit dem Ansatz [mm]u\left(x,y\right)=X\left(x\right)*Y\left(y\right)[/mm]
sind auch die Randbedingungen zu übertragen.
Das heißt, aus
[mm]u\left(x,0\right)=0 \Rightarrow Y\left(0\right)=0[/mm]
,da [mm]X\left(x\right) \not= 0[/mm]
Es empfiehlt sich hier, zuerst mit den
beiden letzten Randbedingungen anzufangen.
Gruss
MathePower
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Danke für die Hilfe. Ich bin jetzt soweit gekommen:
Produktansatz X(x)Y(y)
(1) [mm] X^{''}-\mu [/mm] X=0
(2) [mm] -Y^{''}-\mu [/mm] Y=0
Ich habe nun zuerst mit (2) angefangen, da die Randbedingungen hier homogen sind und somit einfacher zu lösen sind.
[mm] -Y^{''}-\mu [/mm] Y=0 mit Ansatz [mm] Y=e^{\lambda * y}
[/mm]
[mm] -\lambda^{2}-\mu=0
[/mm]
[mm] -\lambda^{2}=\mu
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=\pm [/mm] i * [mm] \wurzel{-\mu}
[/mm]
Fallunterscheidung für [mm] \mu:
[/mm]
(a) [mm] \mu=0: [/mm] triviale Lösung
(b) [mm] \mu>0: \lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] i * [mm] \wurzel{\mu}
[/mm]
Daraus folgt [mm] Y(y)=C_1 [/mm] * [mm] e^{\wurzel{\mu}y} [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^{\wurzel{\mu}y}.
[/mm]
Einarbeiten der Randbedingungen u(x,0)=u(x,1)=0 ergibt [mm] C_1+C_2=0, [/mm] also [mm] C_1=-C_2. [/mm] Ich erhalte mit [mm] 1/2*C_1 [/mm] somit Y(y)=1/2 [mm] C_1(e^{\wurzel{\mu}y}-e^{-\wurzel{\mu}y})=sinh(\wurzel{\mu}y).
[/mm]
Nun bleiben mir noch die Gleichung (1) und die Randbedingungen [mm] u(0,y)=1/100*sin(\pi*y) [/mm] und u(1,y)=0.
Zu lösen ist [mm] X^{''}-\mu [/mm] * X=0 mit bekanntem Ansatz folgt wieder
[mm] X(x)=C_1 [/mm] * [mm] e^{\wurzel{\mu}x} [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^{\wurzel{\mu}x}, [/mm] da [mm] \mu [/mm] positiv ist. Oder habe ich mich hier vertan? Nun habe ich aber ein Problem, die Randbedingung [mm] u(0,y)=1/100*sin(\pi*y) [/mm] einzuarbeiten, da ich im Koeffizientenvergleich links Exponentialfunktionen und rechts eine Sinusfunktion habe. So "schön" wie zuvor geht es nicht. Hier komme ich leider nicht weiter. Über weitere Hilfe wäre ich dankbar.
Ist mein Rechenweg denn bis jetzt so richtig? Danke!
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Hallo pinky2010,
> Danke für die Hilfe. Ich bin jetzt soweit gekommen:
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> Produktansatz X(x)Y(y)
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> (1) [mm]X^{''}-\mu[/mm] X=0
> (2) [mm]-Y^{''}-\mu[/mm] Y=0
>
> Ich habe nun zuerst mit (2) angefangen, da die
> Randbedingungen hier homogen sind und somit einfacher zu
> lösen sind.
>
> [mm]-Y^{''}-\mu[/mm] Y=0 mit Ansatz [mm]Y=e^{\lambda * y}[/mm]
>
> [mm]-\lambda^{2}-\mu=0[/mm]
> [mm]-\lambda^{2}=\mu[/mm]
> [mm]\lambda_{1,2}=\pm[/mm] i * [mm]\wurzel{-\mu}[/mm]
>
> Fallunterscheidung für [mm]\mu:[/mm]
> (a) [mm]\mu=0:[/mm] triviale Lösung
> (b) [mm]\mu>0: \lambda[/mm] = [mm]\pm[/mm] i * [mm]\wurzel{\mu}[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]Y(y)=C_1[/mm] * [mm]e^{\wurzel{\mu}y}[/mm] + [mm]C_2[/mm] *
> [mm]e^{\wurzel{\mu}y}.[/mm]
Diese Lösung folgt für [mm]\mu < 0[/mm]:
[mm]Y(y)=C_{1} * e^{\wurzel{-\mu}y} + C_{2} * e^{-\wurzel{-\mu}y}[/mm]
> Einarbeiten der Randbedingungen u(x,0)=u(x,1)=0 ergibt
> [mm]C_1+C_2=0,[/mm] also [mm]C_1=-C_2.[/mm] Ich erhalte mit [mm]1/2*C_1[/mm] somit
> Y(y)=1/2
> [mm]C_1(e^{\wurzel{\mu}y}-e^{-\wurzel{\mu}y})=sinh(\wurzel{\mu}y).[/mm]
>
Nun, aus der Randbedingung [mm]u\left(x,1\right)=0[/mm] folgt zunächst [mm]Y\left(1\right)=0[/mm],
woraus sich wiederum [mm]C_{1}=0[/mm] ergibt.
Damit ergibt sich auch hier die triviale Lösung.
Bleibt der Fall [mm]\mu > 0[/mm].
> Nun bleiben mir noch die Gleichung (1) und die
> Randbedingungen [mm]u(0,y)=1/100*sin(\pi*y)[/mm] und u(1,y)=0.
>
> Zu lösen ist [mm]X^{''}-\mu[/mm] * X=0 mit bekanntem Ansatz folgt
> wieder
> [mm]X(x)=C_1[/mm] * [mm]e^{\wurzel{\mu}x}[/mm] + [mm]C_2[/mm] * [mm]e^{\wurzel{\mu}x},[/mm] da
> [mm]\mu[/mm] positiv ist. Oder habe ich mich hier vertan? Nun habe
> ich aber ein Problem, die Randbedingung
> [mm]u(0,y)=1/100*sin(\pi*y)[/mm] einzuarbeiten, da ich im
> Koeffizientenvergleich links Exponentialfunktionen und
> rechts eine Sinusfunktion habe. So "schön" wie zuvor geht
> es nicht. Hier komme ich leider nicht weiter. Über weitere
> Hilfe wäre ich dankbar.
>
> Ist mein Rechenweg denn bis jetzt so richtig? Danke!
Gruss
MathePower
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