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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 26.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Aufgabe: Bestimmen Sie [mm] \partial{Q} [/mm] in R.
Lösung: Behauptung: [mm] \partial [/mm] Q=R.
Beweis: [mm] \partial{Q}= \overline{Q} [/mm] \ [mm] Q^{\circ}= \overline{Q} [/mm] \ [mm] \emptyset [/mm] = R
Es bleibt also zur zeigen, dass :
1) [mm] Q^{\circ}= \emptyset [/mm] und
2) [mm] \overline{Q}= [/mm] R äquivalent sind.
1) [mm] \Rightarrow [/mm] 2) :
[mm] Q^{\circ}= \emptyset [/mm] , wobei Q [mm] \not= \emptyset [/mm] .
Sei also x [mm] \in [/mm] Q bel. Da [mm] Q^{\circ}= \emptyset \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in Q^{\circ}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für x [mm] \in [/mm] Q [mm] \not\exists \varepsilon [/mm] >0 mit : [mm] U_{\varepsilon}(x) \subseteq [/mm] Q
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] R \ Q : y [mm] \in U_{\varepsilon}(x) [/mm] (*)
[mm] \Rightarrow [/mm] x ist ein HP.
Da x beliebig war, folgt raus, dass alle x [mm] \in [/mm] Q sind HP und weiterhin folgt daraus, dass Q= [mm] \overline{Q} [/mm] in R, also dass [mm] \overline{Q}= [/mm] R.
(*) daraus sollte auch folgen, dass x auch ein isolierter Punkt sein könnte. In Q gibt es aber keine isolierten Punkte. Soll ich das hinschreiben, oder irgendwie beweisen?
2) [mm] \Rightarrow [/mm] 1) :
Wenn Q= [mm] \overline{Q} [/mm] in R
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] Q : [mm] \not\exists \varepsilon [/mm] >0 : [mm] U_{\varepsilon}(x) \subseteq [/mm] Q
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in Q^{\circ} \gdw Q^{\circ}= \emptyset [/mm] . [mm] \Box [/mm]
Ist das ok? oder ist die Lösungsmethode ein bisschen verkehrt ? ^^
lg.
arraneo.
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo arraneo,
> Aufgabe: Bestimmen Sie [mm]\partial{Q}[/mm] in R.
>
> Lösung: Behauptung: [mm]\partial[/mm] Q=R.
>
> Beweis: [mm]\partial{Q}= \overline{Q}[/mm] \ [mm]Q^{\circ}= \overline{Q}[/mm]
> \ [mm]\emptyset[/mm] = R
>
> Es bleibt also zur zeigen, dass :
>
> 1) [mm]Q^{\circ}= \emptyset[/mm] und
> 2) [mm]\overline{Q}=[/mm] R äquivalent sind.
>
> 1) [mm]\Rightarrow[/mm] 2) :
>
> [mm]Q^{\circ}= \emptyset[/mm] , wobei Q [mm]\not= \emptyset[/mm] .
> Sei also x [mm]\in[/mm] Q bel. Da [mm]Q^{\circ}= \emptyset \Rightarrow[/mm]
> x [mm]\not\in Q^{\circ}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] für x [mm]\in[/mm] Q [mm]\not\exists \varepsilon[/mm]
> >0 mit : [mm]U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm] Q
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] y [mm]\in[/mm] R \ Q : y [mm]\in U_{\varepsilon}(x)[/mm]
> (*)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x ist ein HP.
> Da x beliebig war, folgt raus, dass alle x [mm]\in[/mm] Q sind HP
> und weiterhin folgt daraus, dass Q= [mm]\overline{Q}[/mm] in R, also
> dass [mm]\overline{Q}=[/mm] R.
>
> (*) daraus sollte auch folgen, dass x auch ein isolierter
> Punkt sein könnte. In Q gibt es aber keine isolierten
> Punkte. Soll ich das hinschreiben, oder irgendwie beweisen?
>
> 2) [mm]\Rightarrow[/mm] 1) :
>
> Wenn Q= [mm]\overline{Q}[/mm] in R
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] Q : [mm]\not\exists \varepsilon[/mm] >0 :
> [mm]U_{\varepsilon}(x) \subseteq[/mm] Q
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in Q^{\circ} \gdw Q^{\circ}= \emptyset[/mm]
> . [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das ok? oder ist die Lösungsmethode ein bisschen
> verkehrt ? ^^
Oder! Für Deinen Beweis sind die Aussagen 1) und 2) zu zeigen, Du hast stattdessen deren Äquivalenz bewiesen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 26.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich soll also nur die erste Aussage beweisen.
Ich nehme dann an, dass es doch ein innerer Punkt in Q gibt, wo es also gilt, dass:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] >0 : [mm] U_{\varepsilon} \subseteq [/mm] Q .
Wie kann ich denn aber beweisen, dass egal wie klein Epsilon wird, liegen in dieser Umgebung trotzdem noch Zahlen aus R \ Q ?
ich hätte gern sagen können, dass Q in R dicht liegt, aber gerade das soll ich beweisen.
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Ich soll also nur die erste Aussage beweisen.
>
> Ich nehme dann an, dass es doch ein innerer Punkt in Q
> gibt, wo es also gilt, dass:
>
> [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0 : [mm]U_{\varepsilon} \subseteq[/mm] Q .
>
> Wie kann ich denn aber beweisen, dass egal wie klein
> Epsilon wird, liegen in dieser Umgebung trotzdem noch
> Zahlen aus R \ Q ?
>
> ich hätte gern sagen können, dass Q in R dicht liegt,
> aber gerade das soll ich beweisen.
Verstehe ich nicht. Laut Aufgabe sollst Du [mm] $\partial\IQ$ [/mm] bestimmen.
Und Du behauptest [mm] $\partial\IQ=\IR$ [/mm] und willst dieses beweisen.
[mm] $\IQ^\circ [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist gleichbedeutend zu "Die irrationalen Zahen liegen dicht in [mm] $\IR$".
[/mm]
[mm] $\overline\IQ [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] ist gleichbedeutend zu "Die rationalen Zahlen liegen dicht in [mm] $\IR$".
[/mm]
Also, wie lautet Deine Aufgabe?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 26.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi,
Die Aufgabe lautet, wie geschrieben : Bestimmen Sie [mm] \partial [/mm] Q in R.
Ich muss also die Menge [mm] \partial [/mm] Q bestimmen und sie ist doch R, nicht wahr?
D.h. dass alle Punkte in Q sind Randpunkte, bzw. HP in R. Weiterhin heißt das, dass Q dicht in R liegt.
So habe ich zumindest die Aufgabe verstanden. Wenn du was anderes dadrunter verstehst, dann teile es auch mit mir.
Dass Q in R dicht liegt, kann man durch Widerspruch beweisen, fiel mir jetzt ein.
Angenommen , dass Q nicht dicht sei, sei das Intervall (a,b) in Q , mit a und b rationale Zahlen.
Dann sei c die größte rationale Zahl in (a,b). Aus der Voraussetzung erhalten wir, dass es keine weitere rationale Zahlen zwischen c und b gibt.
Sei also x:= (c+b)/2 . Dann ist x rational und liegt doch im Intervall (a,b).
Widerspruch. Folgt also, dass Q dicht in R liegt.
Fragen:
Wie könnte ich das mathematisch hinschreiben?
Und findest du, dass die Aufgabe durch diesen Beweis trotzdem nicht gelöst ist ?
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hi,
>
> Die Aufgabe lautet, wie geschrieben : Bestimmen Sie
> [mm]\partial[/mm] Q in R.
Gut. Dann ist das schon mal klar.
>
> Ich muss also die Menge [mm]\partial[/mm] Q bestimmen und sie ist
> doch R, nicht wahr?
Richtig!
>
> D.h. dass alle Punkte in Q sind Randpunkte, bzw. HP in R.
> Weiterhin heißt das, dass Q dicht in R liegt.
Falsch. Das heißt, jeder Punkt in [mm] $\IR$ [/mm] ist Randpunkt von [mm] $\IQ$ [/mm] und jeder Randpunkt von [mm] $\IQ$ [/mm] ist in [mm] $\IR$.
[/mm]
Und nicht mehr und nicht weniger. Das mit der Dichtheit stimmt nicht! Wie kommst Du darauf? Wie lautet denn die Definition von Randpunkt? Und was bedeutet [mm] $\IQ$ [/mm] liegt dicht in [mm] $\IR\,?$
[/mm]
>
> So habe ich zumindest die Aufgabe verstanden. Wenn du was
> anderes dadrunter verstehst, dann teile es auch mit mir.
>
> Dass Q in R dicht liegt, kann man durch Widerspruch
> beweisen, fiel mir jetzt ein.
>
> Angenommen , dass Q nicht dicht sei, sei das Intervall
> (a,b) in Q , mit a und b rationale Zahlen.
>
> Dann sei c die größte rationale Zahl in (a,b). Aus der
> Voraussetzung erhalten wir, dass es keine weitere rationale
> Zahlen zwischen c und b gibt.
>
> Sei also x:= (c+b)/2 . Dann ist x rational und liegt doch
> im Intervall (a,b).
>
> Widerspruch. Folgt also, dass Q dicht in R liegt.
Nein. Aus dem Widerspruch folgt nicht, daß [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Der Beweis hierfür ist schwieriger. Und wäre nur die halbe Miete für Deine Aufgabe.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mo 26.11.2012 | | Autor: | arraneo |
ich bin darauf gekommen, weil unserer Prof, hat die Dichtheit genau auf die Weise definiert.
wenn du darüber nachdenkst, ergibt das auch Sinn, dass jede El. aus R soll entweder ein HP von Q sein, oder selbst in Q liegen.
Er hat sie auf diese Weise definiert, weil er nicht einmal die Folgen definiert hat.
Daher ist meine Idee nicht so verkehrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mo 26.11.2012 | | Autor: | arraneo |
hi,
Randpunkte sind die Punkte, deren Umgebung sowohl punkte aus Q enthalten, als auch aus R \ Q . D.h. dass jeder Randpunkt ein HP von R ist.
Das ist mir völlig klar. Das Problem besteht dadrin, dass ich auch beweisen soll, dass Q nur aus Randpunkte besteht und noch dazu, dass auch jeder Punkt von R ist ein HP in Q.
Ich weiß nur nicht, wie ich den zweiten Teil beweisen kann, also dass jeder x aus R auch ein HP in Q ist.
Ideen ?
lg,
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> hi,
>
> Randpunkte sind die Punkte, deren Umgebung sowohl punkte
> aus Q enthalten, als auch aus R \ Q . D.h. dass jeder
> Randpunkt ein HP von R ist.
Wieso jetzt plötzlich von R? Wir wollen doch zeigen, daß jede reelle Zahl ein Randpunkt von [mm] $\IQ$ [/mm] ist!
Und das heißt: Jede reelle Zahl ist sowohl ein HP von [mm] $\IQ$ [/mm] als auch ein HP von [mm] $\IR\setminus\IQ\,.$
[/mm]
Und das wiederum ist gleichbedeutend mit: [mm] $\IQ$ [/mm] liegt dicht in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] liegt dicht in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> Das Problem besteht dadrin, dass
> ich auch beweisen soll, dass Q nur aus Randpunkte besteht
> und noch dazu, dass auch jeder Punkt von R ist ein HP in Q.
Wieso sollst Du zeigen, daß [mm] $\IQ$ [/mm] nur aus Randpunkten besteht?
Ist das eine weitere Aufgabe?
>
> Ich weiß nur nicht, wie ich den zweiten Teil beweisen
> kann, also dass jeder x aus R auch ein HP in Q ist.
Du meinst HP von Q, oder?
Einen Beweis hierzu findest Du z. B. in Walter Rudin, Analysis, 4. Auflage, Seite 9. Dort wird gezeigt, daß [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Und wenn Du das hast, mußt Du noch zeigen, daß [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 27.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Ich habe das Buch nicht und ich kann nicht in die Bibliothek gehen. Ich muss die Aufgabe bis morgen früh hinkriegen.
Kannst du mir eine Idee geben, wie ich es beweisen kann?
also dass für jedes x aus R,
und jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 ist [mm] U_{\varepsilon}(x) \cap(Q/{x}) \not= \emptyset [/mm] .
lg.
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich habe das Buch nicht und ich kann nicht in die
> Bibliothek gehen. Ich muss die Aufgabe bis morgen früh
> hinkriegen.
>
> Kannst du mir eine Idee geben, wie ich es beweisen kann?
>
> also dass für jedes x aus R,
> und jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 ist [mm]U_{\varepsilon}(x) \cap(Q/{x}) \not= \emptyset[/mm]
Wir zeigen: Zu $x, [mm] y\in \IR$, [/mm] $x < y$ gibt es ein [mm] $q\in\IQ$ [/mm] mit $x<q<y$. Damit liegt dann [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$. [/mm] Lege ein Gitter rationaler Punkte über [mm] $\IR$, [/mm] deren Gitterweite kleiner als $y-x$ ist. Hierzu wähle ein $n$ mit $1/n < [mm] y-x\,.$ [/mm] Die Gitterpunkte sind dann [mm] $\{k/n\colon k\in\IZ\}$. [/mm] Und jetzt mußt Du nur noch ein $m$ finden mit [mm] $x
Und vergiß nicht zu zeigen, daß auch [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 Di 27.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Vielen Dank.
Das hatte ich aber auch vorher gesagt. Danke also für den mathematischer Ausdruck.
lg.
arraneo
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