Randomisierte Summe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:38 Di 24.11.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | N sei eine Zufallsvariable mit [mm] $P(N\in\IN_0)=1$. [/mm] Weiter sei [mm] $X_1,X_2,$...eine [/mm] Folge von unabhängig und identisch verteilten und ebenfalls [mm] $\IN_0$-wertigen [/mm] Zufallsvariablen, die auch unabhängig von N sind. Es gelte [mm] $EN^2 <\infty$ [/mm] und [mm] $EX^2_1<\infty$. [/mm] Die randomisierte Summe [mm] $S_N$ [/mm] sei gegeben durch [mm] $S_N=\sum_{n=1}^{N}X_n$
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von [mm] $ES_N$.
[/mm]
b) Zeigen Sie [mm] $Var(S_N)=Var(N)*(EX_1)^2+E(N)*Var(X_1)$ [/mm] |
Hallo,
habe noch nie so einen Fall betrachtet, wo eine Zufallsvariable als Index auftaucht.
Im "normalen Fall" würde ich bei a) rechnen.
[mm] ES_N=E(\sum_{n=1}^{N}X_n)=\sum_{n=1}^{N}E(X_n)=N*EX_1
[/mm]
Aber das stimmt sicherlich hier nicht so ganz, oder ?
Weiß da jemand Rat?
Würde mich über eure Hilfe freuen. Vielen Dank!
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Do 26.11.2009 | | Autor: | KamiNeko |
Knobel auch gerade an dieser Aufgabe.
Meine Idee ist:
[mm]E[S_N] = \left\[ \sum_{i=0}^{\infty} P(N = i) \cdot \sum_{k=0}^i \cdot E[X_k] \right\] [/mm] [mm] \\
[/mm]
[mm]E[S_N] = \left\[ \sum_{i=0}^{\infty} P(N = i) \cdot i \cdot E[X_1] \right\][/mm] [mm] \\
[/mm]
[mm] E[S_N] = E[N] \cdot E[X_1] [/mm]
Andererseits, führte ein Versuch auch zu folgender Modelierung von [mm]S_N[/mm]:
[mm] S_N = \left\{ \sum_{k=1}^{N(\omega)} X_k(\omega) | \omega \in \Omega \right\} [/mm]
Was mich aber bei der Berechnung des Erwartungswerts in eine Sackgasse gebracht hat.
Habe hier etwas ähnliches gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Beispiel
Auf seite 33 unter Beispiel 3.6. (Risikoprozess)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Fry |
Danke schön für deine Antwort,
denke, dass [mm] $ES_N=EN*EX_1$ [/mm] richtig ist.
Gruß
Fry
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 So 29.11.2009 | | Autor: | wolle238 |
Ich hänge auch grad voll an der Aufgabe...
Wie kommt ihr auf die Umformungen:
(1) $ [mm] E[S_N] [/mm] = [mm] \left\[ \sum_{i=0}^{\infty} P(N = i) \cdot \sum_{k=0}^i E[X_k] \right\] [/mm] $
(2) $ [mm] E[S_N] [/mm] = [mm] \left\[ \sum_{i=0}^{\infty} P(N = i) \cdot i \cdot E[X_1] \right\] [/mm] $
(3) $ [mm] E[S_N] [/mm] = E[N] [mm] \cdot E[X_1] [/mm] $
Ich komme mit der Umformung nur auf $ [mm] \mathbb{E}[S_N]= [/mm] N [mm] \cdot \mathbb{E}[X_1]$
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\mathbb{E} [S_N] & = & \mathbb{E} \left[ \sum_{k=1}^{N} X_k \right] \\
& = & \mathbb{E} [X_1] + \mathbb{E} [X_2] + \ldots + \mathbb{E} [X_N] \\
& = & N \cdot \mathbb{E} [X_1]
\end{matrix} [/mm]
Wo ist mein Fehler??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 So 29.11.2009 | | Autor: | wolle238 |
Hmmm.... Danke für deine Antwort... aber irgendwie bringt mich das nicht wirklich weiter! :( naja.... egal... weiter suchen.... :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 29.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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