Random walk Markov Kette < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, in einem Buch steht:
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Consider a simple random walk on [mm] $\{0,1,2,\ldots,n\}$ [/mm] conditioned to reach $n$ before $0$. By Bayes' rule, this conditioned process is a Markov chain with the following transition probabilities: [mm] $\hat{p}(0,1)=1$ [/mm] and for [mm] $1\le k\le [/mm] n$,
[mm] \[\hat{p}(k,k+1)=\frac{k+1}{2k},\quad \hat{p}(k,k-1)=\frac{k-1}{2k}.\]
[/mm]
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Das kapiere ich aber nicht, denn warum kann ich statt der letzten Zeile nicht einfach schreiben:
[mm] \[\hat{p}(k,k+1)=\frac{1}{2},\quad \hat{p}(k,k-1)=\frac{1}{2}.\]
[/mm]
Also das Ding springt gleichwahrscheinlich von $k$ aus eins nach oben oder nach eins nach unten... Wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Do 26.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
des Rätsels Lösung wird in
"conditioned to reach $ n $ before $ 0 $"
liegen, wobei ich keine Ahnung habe, wie der Autor das definiert hat.
Nachdem aber $p(1,2)=1$ ist, können wir von 1 nicht zurück zur 0 springen und damit erreichen wir n sicher vor der 0. Weit von der 0 weg, verhält es sich wie ein balancierter random walk, aber umso näher wir der 0 sind, desto stärker werden wir abgestoßen.
ciao
Stefan
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Was der Autor genau meint, wird wohl sein Geheimnis bleiben und ich nehme das einfach mal als Definition für "conditioned" hin, auch wenn ich gern wüsste, wieso er da mit Bayes ankommt?
Ansonsten spielt, wie du schon angemerkt hast, [mm] $n\to\infty$ [/mm] eine Rolle, da er dann einen "simple random walk on [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] conditioned to avoid zero" definiert...
Naja, ich mach mal noch ne genaue Quellenangabe, falls dir oder jemand anderem noch was einfällt:
![[]](/images/popup.gif) Formel (5.13) Seite 140 bzw. pdf-Seite 150
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 03.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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