Random Walk im Z^2 < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:36 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | Sei [mm] X=(X_n)_{n\in\IN} [/mm] auf [mm] \IZ^2 [/mm] mit [mm] X_0=(0,0) [/mm] ein symmetrischer random walk.
Es soll bewiesen werden, dass jeder Zustand [mm] z\in\IZ^2 [/mm] rekurrent ist.
Hinweis:
[mm] X_n [/mm] = [mm] (X_n^{(1)},X_n^{(2)}), n\in\IN. [/mm] Zeige, dass die Summe S(n) := [mm] X_n^{(1)}+X_n^{(2)} [/mm] und die Differenz [mm] D(n):=X_n^{(1)}-X_n^{(2)} [/mm] ebenfalls ein random walk auf [mm] \IZ [/mm] sind und zeige, dass S(n) und D(n) unabhängig [mm] \forall n\in\IN [/mm] sind. |
Hallo,
für den ersten Teil, dass gezeigt werden soll, dass S(n) und D(n) ebenfalls ein random walk auf [mm] \IZ [/mm] sind habe ich geprüft ob beide Prozesse die Markov-Eigenschaft erfüllen. Reicht dies aus um zu zeigen, dass S(n) bzw. D(n) ein random walk auf [mm] \IZ [/mm] sind?
Für die Unabhängigkeit habe ich bis jetzt nur eine Intuitive Lösung und weis nicht wie ich die vernümftig aufschreiben soll:
Zu Zeigen ist P(D(n)=m | S(n)=k) = P(D(n)=m)
[mm] \Rightarrow [/mm] P(Xn^(1)-Xn^(2)=m | Xn^(1)+Xn^(2)=k )
Nun kann ich die Werte von S(n)=Xn^(1)+Xn^(2)=k bel. verändert, sodass immer noch k resultiert (halte den Wert von k fest) aber D(n)=Xn^(1)-Xn^(2)=m über den gesamten Wertebereich von Z läuft. Beispielsweise erhöhen wir Xn^(1) immer um 1 und reduzieren gleichzeitig Xn^(2) um 1. Wenn nun D(n)=Xn^(1)-Xn^(2)=m über Z läuft und ich eine Wsk, dass D(n) irgend einen Wert m annimmt und dies auf Z bedinge so erhalte ich da ja keine zusätzlichen Info.
Wäre für einen Tipp sehr dankbar :)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Do 28.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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