Randmaxima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 23.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
die Aufgabe lautet:
Sei f(x;y) = 4x + 7y - [mm] 3(x+y)^2 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0;5] und y [mm] \in [/mm] [0;4]. Finden Sie das globale Maximum von f.
zunächst einmal sollte überprüft werden, ob es eine innere Lösung gibt.
Die Bedingung erster Ordnung (hinreichende Bedingung) lautet:
[mm] f_{x} [/mm] = 4 - 6y - 6x = 0
[mm] f_{y} [/mm] = 7 - 6y - 6x = 0
4 - 6y - 6x = 7 - 6y -6y
4 = 7 ist nicht wahr!
Es gibt also keine innere Lösung.
Wir müssen deshalb die 4 Ränder untersuchen (x,0) x [mm] \in [/mm] [0,5] , (x,4) x [mm] \in [/mm] [0,5] , (5,y) y [mm] \in [/mm] [0,4] , (0,y) y [mm] \in [/mm] [0,4].
Unser Prof hat jetzt aber auch gesagt: "Alle Ränder haben eine Form von der umgekehrten Parabel, und besitzen deswegen ein inneres Maximum. Die Frage ist, ob dieses Maximum zum Definitionsbereich gehört."
Das verstehe ich nicht ganz. Wie kommt man auf die umgekehrte Parabel und wieso liegen zum einen innere Maxima vor (ich dachte wir haben oben schon innere Extrema ausgeschlossen) und woher weiß man, dass es sich überhaupt um Maxima handelt? Vielleicht sind es ja Minima?
Er hat dann so weiter gerechnet:
1. Überprüfung: (x,0) x [mm] \in [/mm] [0,5]
f(x,0) = 4x - [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] max_{x} [/mm] 4x - [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] f_{x} [/mm] = 4 - 6x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 2/3
Diese Funktion besitzt ein inneres Maximum im Punkt (2/3, 0)
mit dem Funktioniert f(2/3, 0) = 4/3.
Erneut meine Frage: Warum ein inneres Maximum?
2. Überprüfung: (x,4) x [mm] \in [/mm] [0,5]
f(x,4) = 4x [mm] -3(x+4)^2 [/mm] + 28
[mm] f_{x} [/mm] = 4-6(x+4) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = - 3,3333
Diese Funktion besitzt ein inneres Maximum im Punkt, der nicht zu [0,5] gehört, deswegen besitzt sie ein Maximum im Randpunkt (0,4).
Ich verstehe, dass x= - 3,3333 nicht in das Intervall [0,5] gehört. Aber wieso nimmt man dann x=0. Weil es das nächstkleinste innerhalb des Intervalls ist? Wieso kann es keine andere Zahl im Intervall sein? Ist das jetzt kein inneres Maximum, sondern ein Randmaximum? Und war der Punkt (2/3, 0) aus der 1. Überprüfung kein Randmaximum? Woher weiß ich wieder, dass es ein Maximum ist? Der Funktionswert lautet f(0,4) = - 20 und ist doch ziemlich klein. Wieso ist es kein Minimum?
Anschließend wurden (5, y) y [mm] \in [/mm] [0,4] genauso geprüft. Hier erhält man ein Randmaximum im Punkt (5,0) mit Funktionswert f(5,0)=-55.
Und die Prüfung von (0,y) y [mm] \in [/mm] [0,4] ergibt ein Maximum im Punkt (0, 7/6) mit dem Funktionswert f(0, 7/6)= 49/12. Da dies der höchste Funktionswert ist, ist es auch das globale Maximum.
Meine Fragen von vorhin gelten auch hier wieder: Haben wir jetzt Randmaxima oder innere Maxima? Warum sind es Maxima und keine Minima. Was hat das mit der umgekehrten Parabel, die ich mal ganz am Anfang erwähnt habe, zu tun? .
Vielen Dank.
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Sa 23.01.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> zunächst einmal sollte überprüft werden, ob es eine
> innere Lösung gibt.
>
Wäre einfacher, wenn Du $f$ mitgeteilt hättest.
> Die Bedingung erster Ordnung (hinreichende Bedingung)
> lautet:
>
> [mm]f_{x}[/mm] = 4 - 6y - 6x = 0
> [mm]f_{y}[/mm] = 7 - 6y - 6x = 0
>
> 4 - 6y - 6x = 7 - 6y -6y
> 4 = 7 ist nicht wahr!
>
> Es gibt also keine innere Lösung.
>
> Wir müssen deshalb die 4 Ränder untersuchen (x,0) x [mm]\in[/mm]
> [0,5] , (x,4) x [mm]\in[/mm] [0,5] , (5,y) y [mm]\in[/mm] [0,4] , (0,y) y [mm]\in[/mm]
> [0,4].
>
> Unser Prof hat jetzt aber auch gesagt: "Alle Ränder haben
> eine Form von der umgekehrten Parabel, und besitzen
> deswegen ein inneres Maximum. Die Frage ist, ob dieses
> Maximum zum Definitionsbereich gehört."
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Wie kommt man auf die
> umgekehrte Parabel und wieso liegen zum einen innere Maxima
> vor (ich dachte wir haben oben schon innere Extrema
> ausgeschlossen) und woher weiß man, dass es sich
> überhaupt um Maxima handelt? Vielleicht sind es ja
> Minima?
Antwort darauf siehe unten.
>
> Er hat dann so weiter gerechnet:
>
> 1. Überprüfung: (x,0) x [mm]\in[/mm] [0,5]
>
> f(x,0) = 4x - [mm]3x^2[/mm]
Auf dem Rand ist $f$ eine nach unten geöffnete Parabel.
>
> [mm]max_{x}[/mm] 4x - [mm]3x^2[/mm]
>
> [mm]f_{x}[/mm] = 4 - 6x = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = 2/3
>
> Diese Funktion besitzt ein inneres Maximum im Punkt (2/3,
> 0)
> mit dem Funktioniert f(2/3, 0) = 4/3.
>
> Erneut meine Frage: Warum ein inneres Maximum?
Er meint einen inneren Punkt des Randes.
>
> 2. Überprüfung: (x,4) x [mm]\in[/mm] [0,5]
>
> f(x,4) = 4x [mm]-3(x+4)^2[/mm] + 28
>
> [mm]f_{x}[/mm] = 4-6(x+4) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = - 3,3333
>
> Diese Funktion besitzt ein inneres Maximum im Punkt, der
> nicht zu [0,5] gehört, deswegen besitzt sie ein Maximum im
> Randpunkt (0,4).
>
> Ich verstehe, dass x= - 3,3333 nicht in das Intervall [0,5]
> gehört. Aber wieso nimmt man dann x=0. Weil es das
> nächstkleinste innerhalb des Intervalls ist? Wieso kann es
> keine andere Zahl im Intervall sein?
Das Maximum auf diesem Rand kann nicht im inneren des Randes angenommen werden, weil [mm] $x=-\frac{10}{3}$ [/mm] die einzige Stelle mit Steigung $0$ ist. Daher muss der grösste Funktionswert am Rand des Randes angenommen werden. Ob es $0$ oder $5$ ist, musst Du ausprobieren.
> Ist das jetzt kein
> inneres Maximum, sondern ein Randmaximum?
Es ist ein Randmaximum, sogar im doppelten Sinne: es liegt am Rand des Randintervalls.
> Und war der Punkt
> (2/3, 0) aus der 1. Überprüfung kein Randmaximum?
Aus dieser Punkt liegt am Rand.
> Woher
> weiß ich wieder, dass es ein Maximum ist? Der
> Funktionswert lautet f(0,4) = - 20 und ist doch ziemlich
> klein. Wieso ist es kein Minimum?
Weil $f$ auf diesem Randintervall fallend und $f(5)$ noch kleiner ist.
>
>
> Anschließend wurden (5, y) y [mm]\in[/mm] [0,4] genauso geprüft.
> Hier erhält man ein Randmaximum im Punkt (5,0) mit
> Funktionswert f(5,0)=-55.
>
> Und die Prüfung von (0,y) y [mm]\in[/mm] [0,4] ergibt ein Maximum
> im Punkt (0, 7/6) mit dem Funktionswert f(0, 7/6)= 49/12.
> Da dies der höchste Funktionswert ist, ist es auch das
> globale Maximum.
>
> Meine Fragen von vorhin gelten auch hier wieder: Haben wir
> jetzt Randmaxima oder innere Maxima? Warum sind es Maxima
> und keine Minima. Was hat das mit der umgekehrten Parabel,
> die ich mal ganz am Anfang erwähnt habe, zu tun? .
Die Antworten sind analog zu obigen.
Ich weiss nicht, wie tief Deine Kenntnisse der Analysis sind, aber für die Begriffe "innerer Punkt" und "Randpunkt" gelten die üblichen Definitionen auch bei diesem Anwendungsbeispiel.
>
>
> Vielen Dank.
>
> LG
> Mathics
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 23.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
ich habe die Funktion nachträglich in meiner Frage ergänzt.
Sie lautet: f(x;y) = 4x + 7y - [mm] 3(x+y)^2 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0;5] und y [mm] \in [/mm] [0;4].
Zu meiner Frage: Woran sehe ich denn, dass die die Ränder eine umgekehrte Parabel sind?
Wenn ich mal die Funktionen aller Ränder bilde, erhalte ich ja:
f(x,0) = 4x - [mm] 3x^2
[/mm]
f(x,4) = 4x - [mm] 3(x+4)^2 [/mm] + 28
f(5,y) = [mm] 7y-3(y+5)^2+20
[/mm]
f(0,y) = [mm] 7y-3y^2
[/mm]
Wegen dem [mm] -x^2 [/mm] bzw. [mm] -y^2 [/mm] in jeder der Funktionen, ist es eine umgekehrte Parabel, oder?
Wenn ich in einer Funktion mehrere verschiedene Potenzen habe z.b: f = [mm] x^2 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] . Woher weiß ich dann, wie die Funktion ca. aussieht, also ob es eher einer Parabel ähnelt oder so einer S-Form wie man es von [mm] x^3-Funktionen [/mm] kennt? Bestimmt die höchste Potenz evtl. die Form? Würde f = [mm] x^2 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] eher S-föfmig sein, da 3 > 2 , aber f = [mm] x^4 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] eher wie eine Parabel, da 4 > 3 ?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 23.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> ich habe die Funktion nachträglich in meiner Frage
> ergänzt.
>
> Sie lautet: f(x;y) = 4x + 7y - [mm]3(x+y)^2[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0;5]
> und y [mm]\in[/mm] [0;4].
>
> Zu meiner Frage: Woran sehe ich denn, dass die die Ränder
> eine umgekehrte Parabel sind?
>
> Wenn ich mal die Funktionen aller Ränder bilde, erhalte
> ich ja:
>
> f(x,0) = 4x - [mm]3x^2[/mm]
> f(x,4) = 4x - [mm]3(x+4)^2[/mm] + 28
>
> f(5,y) = [mm]7y-3(y+5)^2+20[/mm]
> f(0,y) = [mm]7y-3y^2[/mm]
>
>
> Wegen dem [mm]-x^2[/mm] bzw. [mm]-y^2[/mm] in jeder der Funktionen, ist es
> eine umgekehrte Parabel, oder?
Ja
Eine Parabel ist der Graph einer Funktion der Form
[mm] p(x)=ax^2+bx×+c [/mm] mit [mm] a\ne [/mm] 0.
Ist a <0, so ist die Parabel nach unten geöffnet, anderenfalls nach oben.
>
> Wenn ich in einer Funktion mehrere verschiedene Potenzen
> habe z.b: f = [mm]x^2[/mm] - [mm]x^3[/mm] . Woher weiß ich dann, wie die
> Funktion ca. aussieht, also ob es eher einer Parabel
> ähnelt oder so einer S-Form wie man es von [mm]x^3-Funktionen[/mm]
> kennt? Bestimmt die höchste Potenz evtl. die Form? Würde
> f = [mm]x^2[/mm] - [mm]x^3[/mm] eher S-föfmig sein, da 3 > 2 , aber f = [mm]x^4[/mm]
> - [mm]x^3[/mm] eher wie eine Parabel, da 4 > 3 ?
Wie die Funktion Vorschrift einer Parabel aussieht habe ich Dir oben gesagt.
Fred
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>
> LG
> Mathics
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