Randextrema < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Mal eine grundlegende Frage:
Wenn eine Funktion auf einem halbseitig offenen Intervall (oder offenes Intervall) definiert ist, kann es da Randextrema geben und wie ist das definiert.
Ich kenne Randextrema nur bei kompakten Intervallen, aber wüsste gerne, ob das bei halboffenen (offenen) Intervallenm genauso definiert ist oder wie es da gehandhabt wird.
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 13.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Mal eine grundlegende Frage:
>
> Wenn eine Funktion auf einem halbseitig offenen Intervall
> (oder offenes Intervall) definiert ist, kann es da
> Randextrema geben und wie ist das definiert.
>
> Ich kenne Randextrema nur bei kompakten Intervallen, aber
> wüsste gerne, ob das bei halboffenen (offenen)
> Intervallenm genauso definiert ist oder wie es da
> gehandhabt wird.
>
>
> Danke!
Hallo Mikexx,
ein ganz einfaches Beispiel:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] mit [mm] -1
Diese Funktion hat ein lokales Minimum bei x=0, und sie hat ein Maximum auf dem Rand dieses halboffenen Intervalls (f(2)=4 als größtmöglicher Funktionswert).
[mm] f(x)=x^2 [/mm] mit [mm] -1\le [/mm] x< 2 hat hingegen kein Maximum, sondern nur ein Supremum.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich sollte nämlich für ein fixes k das Maximum für
[mm]P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}[/mm] (Poissonverteilung, bei der [mm]\lambda>0[/mm] ist) bestimmen.
Für k=0 soll bei [mm]0=k=\lambda[/mm] ein Randmaximum sein.
Aber 0 gehört doch gar nicht mehr dazu, weil doch, wie gesagt [mm]\lambda>0[/mm] ist.
Da bin ich etwas ratlos.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 13.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich sollte nämlich für ein fixes k das Maximum für
>
> [mm]P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}[/mm] (Poissonverteilung,
> bei der [mm]\lambda>0[/mm] ist) bestimmen.
>
> Für k=0 soll bei [mm]0=k=\lambda[/mm] ein Randmaximum sein.
> Aber 0 gehört doch gar nicht mehr dazu, weil doch, wie
> gesagt [mm]\lambda>0[/mm] ist.
>
> Da bin ich etwas ratlos.
Hallo,
für k=0 gilt [mm]P(X=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^0}{0!}=e^{-\lambda}[/mm] .
Das "[mm]0=k=\lambda[/mm] " muss ein Missverständnis sein.
PS:
ich habe gerade unter bei Wikipedia nachgesehen. Dort sieht man in der ersten Abbildung:
Für [mm] \lambda>1 [/mm] gibt es ein lokales Maximum bei [mm] k\ge [/mm] 1.
Für [mm] \lambda=1 [/mm] haben P(X=0) und P(X=1) einen (gemeinsamen) höchsten Wert.
Damit müsste für [mm] 0<\lambda<1 [/mm] der Wert P(X=0) der alleinige Höchstwert sein.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Zitat:
"Für k=0 hat die Ableitung gar keine Nullstelle. Das Maximum [mm]\lambda=k=0[/mm] ist hier ein Randmaximum."
Lese ich da was falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 13.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Zitat:
>
> "Für k=0 hat die Ableitung gar keine Nullstelle. Das
> Maximum [mm]\lambda=k=0[/mm] ist hier ein Randmaximum."
>
> Lese ich da was falsch?
Da hat wahrscheinlich jemand was Falsches geschrieben.
"Maximum" ist ein maximaler Funktionswert. Und dass unter lauter nichtnegativen Werten ein Wert 0 als Maximum bezeichnet wird...
Und: Ableitung wovon? Die Zuordnung X [mm] \rightarrow [/mm] P(X=k) ist nichts, was man ableiten kann. Welche Funktion wovon wird hier eigentlich abgeleitet?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Die Aufgabe lautete: Bestimmen Sie für fixes [mm] k\in\left\{0,1,2,...\right\} [/mm] das Maximum von P(X=k) in [mm] \lambda.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 13.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Die Aufgabe lautete: Bestimmen Sie für fixes
> [mm]k\in\left\{0,1,2,...\right\}[/mm] das Maximum von P(X=k) in
> [mm]\lambda.[/mm]
Also wird im Fall k=0 das Maximum der Funktion [mm] f(\lambda)=e^{-\lambda} [/mm] gesucht?
Die Funktion ist fallend und hat für [mm] \lambda\ge0 [/mm] den höchsten Wert 1 an der Stelle 0.
Wenn allerdings [mm] \lambda>0 [/mm] gelten soll, kann der höchste Wert nur beliebig nahe an 1 liegen, ohne 1 zu erreichen.
Gruß Abakus
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 13.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Bei einer Poissonverteilung gilt doch meines Wissens immer, dass [mm]\lambda>0[/mm] ist.
Und deswegen wird der Wert 1 (bei [mm]\lambda=0[/mm]), wie Du ja schon geschrieben hast, eben nicht angenommen.
Dann kann man das doch aber nicht ein Randmaximum nennen, das bei [mm]k=0=\lambda[/mm] vorliegt.
Oder sehe ich das falsch?
Das war der Ausgangspunkt meiner Frage hier.
|
|
|
| |
|
> Bei einer Poissonverteilung gilt doch meines Wissens immer,
> dass [mm]\lambda>0[/mm] ist.
>
> Und deswegen wird der Wert 1 (bei [mm]\lambda=0[/mm]), wie Du ja
> schon geschrieben hast, eben nicht angenommen.
>
> Dann kann man das doch aber nicht ein Randmaximum nennen,
> das bei [mm]k=0=\lambda[/mm] vorliegt.
>
> Oder sehe ich das falsch?
>
>
>
> Das war der Ausgangspunkt meiner Frage hier.
Hallo,
an Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, kann sie keinen Funktionswert annehmen, also auch kein Randextremum haben.
Man könnte aber ganz unbürokratisch sagen, daß hier und heute für diese Untersuchung der Definitionsbereich erweitert wird auf [mm] \IR_{\ge 0}.
[/mm]
Damit hat man dann das angesprochene Randextremum niet- und nagelfest.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
