Randdichtefunktion < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Teil 1
Die stetigen ZUfallsvariablen X,Y besitzen für 0<=x, y<=1 und [mm] \alpha \in [/mm] [-1,1] die folgende gemeinsame Verteilungsfunktion:
[mm] F_{xy} [/mm] (xy) = xy + [mm] \alpha [/mm]xy (1-x)(1-y)
und die gemeinsame Dichtefunktion
[mm] f_{xy} [/mm] (xy) = 1 + [mm] \alpha [/mm](1-2x)(1-2y)
Zeigen Sie, dass
[mm] F_x [/mm] (x) = [mm]F_{x,y} [/mm] (x,1) = x
und
[mm] F_y [/mm] (y) = [mm]F_{x,y} [/mm] (1,y) = y
ist.
Teil 2
Geben Sie die Randdichtefunktion von X und Y an. Wie sind demnach die Ränder von X und Y verteilt? |
Hallo,
meine Frage bezieht sich nur auf Teil 2 der Aufgabe.
Die Lösung für [mm] f_x (x) [/mm] lautet:
[mm] f_x (x) [/mm]= [mm] \partial [/mm] [mm] F_x [/mm](x,y) / [mm] \partial [/mm]x =x / [mm] \partial [/mm]x =1
Meine Frage:
Wenn ich versuche das nachzurechnen komme ich auf einen Ausdruck den ich nicht weiter auflösen kann. Vermutlich muss man das Ergebnis aus Teil 1 verwenden, aber ich wüßte nicht wie. Wie errechnet man[mm] f_x (x) [/mm]?
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Du solltest mit den Bezeichnungen sorgfältiger sein. Es ist wichtig, ob das x groß oder klein geschrieben wird: Zufallsvariable oder reelle Variable. Auch ein kleines Komma kann entscheidend sein, damit man ein Paar von einem Produkt unterscheiden kann. Dein Beitrag ist daher schlecht lesbar, etwas unfreundlicher ausgedrückt: ziemlich verdorben.
Folgendes ist wohl gemeint:
Man hat auf dem Einheitsquadrat [mm]I^2 = [0,1]^2[/mm] eine gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen [mm]X,Y[/mm], nämlich
[mm]F_{X,Y} (x,y) = xy + \alpha \cdot xy (1-x) (1-y)[/mm]
Und auch noch ihre Dichte:
[mm]f_{X,Y} (x,y) = 1 + \alpha \cdot (1-2x) (1-2y)[/mm]
Es hätte übrigens genügt, die Dichte anzugeben, denn aus ihr kann man die Verteilung bestimmen:
[mm]F_{X,Y}(x,y) = \int_0^x \int_0^y f_{X,Y}(u,v) ~ \mathrm{d}v ~ \mathrm{d}u \, ; \ \ x,y \in [0,1][/mm]
Die Randverteilung für [mm]X[/mm] bekommst du nun, indem du im Integral über alle zulässigen [mm]y[/mm] integrierst, also [mm]y \in [0,1][/mm], mithin
[mm]F_X(x) = \int_0^x \int_0^1 f_{X,Y}(u,y) ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}u \, ; \ \ x \in [0,1][/mm]
Und die Dichte dann durch Ableiten:
[mm]f_X(x) = \left( F_X \right)'(x)[/mm]
Analog geht das auch für [mm]Y[/mm].
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Hallo, danke für deine Antwort.
> Dein Beitrag ist daher schlecht lesbar, etwas unfreundlicher ausgedrückt: ziemlich verdorben.
Nein, ist er nicht. Die Aufgabenstellung steht so auf einem Übungsblatt wie von mir beschrieben.
Nochmal in anderen Worten:
Für die Zufallsvariable X gilt: 0[mm]\le[/mm]x
Für die Zufallsvariable Y gilt: y[mm]\le[/mm]1
Frage 1)
In deinem Antwortartikel kann ich die Formeln nur als Code lesen. Werden Sie bei dir richtig angezeigt?
Frage 2)
In Teil 1 der Aufgabe hat man ja gezeigt:
$ [mm] F_x [/mm] $ (x) = $ [mm] F_{x,y} [/mm] $ (x,1) = x
Das wäre doch die Randverteilung von X oder?
Begründung: Da y[mm]\le[/mm]1 hat man im obigen Ausdruck die Wahrscheinlichkeitsmasse von allen möglichen Werten für y drin.
Frage 3)
Wenn ich das ableite habe ich die Randdichte von X (nämlich 1) und somit die Lösung, oder?
Viele Grüße
rabenhorst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mi 29.07.2015 | | Autor: | luis52 |
> Hallo, danke für deine Antwort.
> > Dein Beitrag ist daher schlecht lesbar, etwas
> unfreundlicher ausgedrückt: ziemlich verdorben.
>
> Nein, ist er nicht. Die Aufgabenstellung steht so auf einem
> Übungsblatt wie von mir beschrieben.
>
> Nochmal in anderen Worten:
> Für die Zufallsvariable X gilt: 0[mm]\le[/mm]x
> Für die Zufallsvariable Y gilt: y[mm]\le[/mm]1
>
> Frage 1)
> In deinem Antwortartikel kann ich die Formeln nur als Code
> lesen. Werden Sie bei dir richtig angezeigt?
>
> Frage 2)
> In Teil 1 der Aufgabe hat man ja gezeigt:
> [mm]F_x[/mm] (x) = [mm]F_{x,y}[/mm] (x,1) = x
>
> Das wäre doch die Randverteilung von X oder?
Moin, ja.
> Begründung: Da y[mm]\le[/mm]1 hat man im obigen Ausdruck die
> Wahrscheinlichkeitsmasse von allen möglichen Werten für y
> drin.
>
> Frage 3)
> Wenn ich das ableite habe ich die Randdichte von X
> (nämlich 1) und somit die Lösung, oder?
Ja.
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