Randbetrachtung bei Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | B := {(x, y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
f : B → [mm] \IR [/mm] : (x, y) → [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] − xy − [mm] x^4
[/mm]
Aufgaben:
- kritische Punkte bestimmen
- Um was handelt es sich bei diesen Punkten? (Max, Min, Sattel)
- Welches Max, Min sind global? |
Okay Freunde der Mathematik,
mein Problem ist die Betrachtung des Randes. Der Rest geht ja nach Schema X, wenn die Hesse-Matrix nicht gerade 0 ist.
Der Rand ist offensichtlich ein Quadrat? Ganz schön fies jetzt all diese Punkte zu betrachten. Womöglich kann man hier einfach mal fixxieren, um so den einzelnen Strecken entlang zu fahren mit der Funktion f.
Wenn man das tut, bekommt man offensichtlich eindimensionale
Funktionen:
f(1, y) = [mm] y^2-y
[/mm]
f(-1,y) = [mm] y^2+y
[/mm]
f(x, 1) = [mm] -x^4+x^2-x+1 [/mm]
f(x,-1) = [mm] -x^4+x^2+x+1
[/mm]
Jetzt sind das ja gerade die "Konturen" des Randes, sprich: Die Funktionen sind der Verlauf der Funktionswerte am Rand. Kann ich jetzt einfach diese auf Extreme untersuchen und diese sind dann Extrema für f(x,y)? Das sind aber ganz schööön viele, kann das stimmen?
DANKE FÜR DIE HILFE!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo theobaldtiger,
> B := {(x, y) [mm]\in \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y
> ≤ 1}
>
> f : B → [mm]\IR[/mm] : (x, y) → [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] − xy − [mm]x^4[/mm]
>
> Aufgaben:
>
> - kritische Punkte bestimmen
> - Um was handelt es sich bei diesen Punkten? (Max, Min,
> Sattel)
> - Welches Max, Min sind global?
> Okay Freunde der Mathematik,
>
> mein Problem ist die Betrachtung des Randes. Der Rest geht
> ja nach Schema X, wenn die Hesse-Matrix nicht gerade 0
> ist.
Jo.
> Der Rand ist offensichtlich ein Quadrat?
Nun, jedenfalls ein Rechteck, dessen Seiten alle gleich lang sind...
> Ganz schön fies
> jetzt all diese Punkte zu betrachten. Womöglich kann man
> hier einfach mal fixxieren, um so den einzelnen Strecken
> entlang zu fahren mit der Funktion f.
Warum nicht?
> Wenn man das tut, bekommt man offensichtlich
> eindimensionale
> Funktionen:
Na, sagen wir zweidimensional, trotz nur noch einer Veränderlichen. Eindimensionalen sind recht langweilig, und die Kurvendiskussion ist kurz und zäh.
> f(1, y) = [mm]y^2-y[/mm]
> f(-1,y) = [mm]y^2+y[/mm]
> f(x, 1) = [mm]-x^4+x^2-x+1[/mm]
> f(x,-1) = [mm]-x^4+x^2+x+1[/mm]
>
> Jetzt sind das ja gerade die "Konturen" des Randes, sprich:
> Die Funktionen sind der Verlauf der Funktionswerte am Rand.
> Kann ich jetzt einfach diese auf Extreme untersuchen und
> diese sind dann Extrema für f(x,y)? Das sind aber ganz
> schööön viele, kann das stimmen?
Hm. Stell Dir mal so ein Wellblechdach vor, das normalerweise geneigt ist, damit das Wasser abläuft. Am unteren Ende des Dachs hast Du dann als Kante einen Schnitt durch die Wellenstruktur. Dabei sind alle Maxima der Schnittkante keine Extrema der Dachfläche, alle Minima sind aber welche. Am oberen Ende der Fläche ist es gerade umgekehrt...
Es genügt also nicht, die Extrema der Randkurven zu bestimmen, sondern Du musst bei jedem Randkurvenextremum prüfen, ob es tatsächlich ein (wenigstens lokales) Extremum der Fläche darstellt.
> DANKE FÜR DIE HILFE!
Viel Erfolg!
Grüße
reverend
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Danke für die Antwort schon mal. Das hört sich schon mal gut an. Jetzt bleibt also nur noch die Frage: Wie prüfe ich denn, ob es sich bei Extremum X, tatsächlich um eines Handelt? Ich kenne folgende Tricks, die vielleicht hilfreich sind:
- Höhenlinien skizzieren
- Nullstellen und positive, negative Gebiete skizzieren
- Vielleicht irgendwas mit Taylorpolynom?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Di 16.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort schon mal. Das hört sich schon mal
> gut an. Jetzt bleibt also nur noch die Frage: Wie prüfe
> ich denn, ob es sich bei Extremum X, tatsächlich um eines
> Handelt? Ich kenne folgende Tricks, die vielleicht
> hilfreich sind:
>
> - Höhenlinien skizzieren
> - Nullstellen und positive, negative Gebiete skizzieren
> - Vielleicht irgendwas mit Taylorpolynom?
Übertreibe es nicht.
Berechne die Hoch- und Tiefpunkte
- des linken Randes
- des rechten Randes
- des oberen /unteren Randes
und wirf auch noch die Koordinaten der extremwertverdächtigen Punkte im Inneren der Fläche in diesen Topf.
Suche dir aus diese äußerst überschaubaren Punktmenge die allergrößten/allerkleinsten Werte heraus.
Gruß Abakus
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Okay ich habe jetzt mal anlysiert bis zum Erbrechen:
Auf folgende Punkte komme ich:
unterer Rand: f(0.88,-1) = 2.054 Maximum
oberer Rand f(-0.88, 1) = 2.054 Maximum
linker Rand: f(-1, -1/2) = -1/4 Minimum
rechter Rand: f(1, 1/2) = -1/4 Minimum
Ich beziehe mich bei den obengenannten Werten auf die "Randfunktionen"!
Noch wichtige Randpunkte:
f(-1,-1) = 0
f(1,1) = 0
f(1,-1)= 2
f(-1,1) = 2
Und f(x,y) hat ein Minimum in (0,0) mit f(0,0) = 0. Sonst gibt es noch 2 Sattelpunkte. So. Jetzt bleibt zu klären, was diese Randpunkte für f(x,y) bedeuten? Wie kann ich jetzt prüfen, ob es Maximum bzw Minimum der Funktion ist?
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Hallo paulpanter,
> Okay ich habe jetzt mal anlysiert bis zum Erbrechen:
>
> Auf folgende Punkte komme ich:
>
> unterer Rand: f(0.88,-1) = 2.054 Maximum
>
> oberer Rand f(-0.88, 1) = 2.054 Maximum
>
> linker Rand: f(-1, -1/2) = -1/4 Minimum
>
> rechter Rand: f(1, 1/2) = -1/4 Minimum
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich beziehe mich bei den obengenannten Werten auf die
> "Randfunktionen"!
>
> Noch wichtige Randpunkte:
>
> f(-1,-1) = 0
> f(1,1) = 0
> f(1,-1)= 2
> f(-1,1) = 2
>
> Und f(x,y) hat ein Minimum in (0,0) mit f(0,0) = 0. Sonst
> gibt es noch 2 Sattelpunkte. So. Jetzt bleibt zu klären,
> was diese Randpunkte für f(x,y) bedeuten? Wie kann ich
> jetzt prüfen, ob es Maximum bzw Minimum der Funktion ist?
>
Das hast Du doch schon oben gemacht.
Gruss
MathePower
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