Randbedingungen bei Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hallo!,
Eine kurze Frage zu Randbedingungen bei Extrema:
Sei f:[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar. Als Extrema bekomme ich den Punkt x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als Maximum heraus.
Nun muss ich die Randwerte, sprich x=-1 und x= 1 betrachten: Da f' stetig ist und nur ein Extremum besitzt ist f(-1) < f(0.5) und f(1) < f(0.5) und daher sind x=-1 und x=1 Minima.
Etwas allgemeiner: Ich schaue mir die berechneten Extrema an und machen darüber Aussage über den Graphenverlauf. Wenn ich diesen Verlauf kenne, kann ich dann sagen ob die Randwerte Maxima (die Steigung ist positiv davor) oder Minima (negative Steigung) sind. Noch etwas einfacher, insofern man mit konkreten Zahlen/Intervallen rechnet: Sei a Randwert und b das gefundene Extremum. Vergleiche f(a) mit f(b).
Ist das das übliche Vorgehen beim Untersuchen von Randwerten?
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"Da f' stetig ist und nur ein Extremum besitzt ..."
Meinst du: "nur eine Nullstelle besitzt"?
Du solltest genauer sagen, ob du lokale oder globale Extrema suchst.
Das globale Maximum (Minimum) findest du, indem du alle lokalen Maxima (Minima) mit den Randwerten der Funktion vergleichst. Hierbei verstehe ich unter einer lokalen Extremalstelle eine innere (!) Stelle c des Definitionsintervalls, so daß f(c) in einer gewissen Umgebung von c der maximale bzw. minimale Wert ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
> "Da f' stetig ist und nur ein Extremum besitzt ..."
>
> Meinst du: "nur eine Nullstelle besitzt"?
In dem Fall ja. Da f nur eine Extremstelle besitzt, f' also nur eine Nullstelle.
> Du solltest genauer sagen, ob du lokale oder globale
> Extrema suchst.
> Das globale Maximum (Minimum) findest du, indem du alle
> lokalen Maxima (Minima) mit den Randwerten der Funktion
> vergleichst.
Sowohl als auch ;) Also für globale Extrema würde ich alle lokalen Extrema (so wie du sie definiertest) miteinander vergleichen und den höchsten bzw. niedrigsten Punkt wählen.
Nun zu lokalen Extrema:
Durch eine Sachaufgabe hat man z.B.: eine Funktion aufgestellt, die durch die Sachaufgaben nur über dem Intervall [-1,1] definiert ist. Mit Hilfe der Funktion möchte man nun bestimmen ob irgendein Wert irgendwann extrem wird (ist ja eine typische Aufgabe).
Hierbei würde ich mir dann den Graphenverlauf anschauen(für die Randwerte) und entsprechend argumentieren ob es nun eine lokales Minimum/Maximum ist. Für die Sachaufgabe als solches wäre müsste ich dann nochmal schauen, welcher der Punkte(also Randwerte und die "normal" berechneten Extremstellen) höher/tiefer liegt, um dann wie gesagt das globale Extrema ("wann wird die Funktion "am maximalsten"") zu finden.
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Bringen wir es doch auf den Punkt. Suchst du das globale Maximum einer Funktion im Intervall [mm][a,b][/mm], so mußt du zunächst unter allen lokalen Maxima das mit dem höchsten Funktionswert suchen. Nehmen wir einmal an, es ist bei der Stelle [mm]c \in (a,b)[/mm]. Jetzt mußt du nur [mm]f(a),f(c),f(b)[/mm] miteinander vergleichen. Der größte der drei Funktionswerte bestimmt das Maximum. Fertig.
Und bitte sag nicht "am maximalsten", auch nicht im Spaß! Es tut so weh in meinen Ohren ...
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