Rand bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Do 09.08.2012 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | Sei M die Menge der beschränkten Funktionen auf dem Intervall $[0,1]$, ausgestattet mit der Metrik [mm] $d(f,g)=sup_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|$.
[/mm]
Sei A die menge der konstanten rellen Funktionen auf dem Intervall $[0,1]$. Bestimmen Sie den Rand von A im Metrischen Raum |
$(i)$ Wir zeigen [mm] $A\subset\partial [/mm] A$:
sei [mm] $f\in [/mm] A$, es gibt also ein [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm] mit $f(x)=c$ [mm] $\forall x\in[0,1]$.sei $\varepsilon [/mm] >0$. setze
[mm] g(x)=\begin{cases} c, & x=0 \\ c+\frac{\varepsilon}{2}, & x\in (0,1]\end{cases}
[/mm]
dann ist [mm] $d(g,f)=\varepsilon/2$<\varepsilon$. [/mm] also ist jedes element von A ein Randpunkt.
$(ii)$ Wir zeigen [mm] $\partial A\cap (M\setminus A)=\emptyset$
[/mm]
sei [mm] $f\in M\setminus [/mm] A$. f ist nicht konstant und deswegen gibt es [mm] $x,y\in[0,1]$, [/mm] sodass [mm] $f(x)\neq [/mm] f(y)$. Wähle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] so, dass [mm] $2\varepsilon<|f(x)-f(y)|$ [/mm] gilt. Dann folgt für jedes [mm] $c\in\mathbb{R}$:
[/mm]
[mm] $2\varepsilon<|f(x)-f(y)|=|f(x)-c+c-f(y)|\le [/mm] |f(x)-c|+|c-f(y)| [mm] \le 2\cdot [/mm] d(f,g)$, also gilt [mm] $\varepsilon
also gilt [mm] $\partial [/mm] A=A$. (der rand von A ist A selbst)
ist diese überlegung richtig?
lg
flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei M die Menge der beschränkten Funktionen auf dem
> Intervall [mm][0,1][/mm], ausgestattet mit der Metrik
> [mm]d(f,g)=sup_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|[/mm].
>
> Sei A die menge der konstanten rellen Funktionen auf dem
> Intervall [mm][0,1][/mm]. Bestimmen Sie den Rand von A im Metrischen
> Raum
>
> [mm](i)[/mm] Wir zeigen [mm]A\subset\partial A[/mm]:
>
> sei [mm]f\in A[/mm], es gibt also ein [mm]c\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f(x)=c[/mm]
> [mm]\forall x\in[0,1][/mm].sei [mm]\varepsilon >0[/mm]. setze
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} c, & x=0 \\ c+\frac{\varepsilon}{2}, & x\in (0,1]\end{cases}[/mm]
>
> dann ist [mm]$d(g,f)=\varepsilon/2$<\varepsilon$.[/mm] also ist
> jedes element von A ein Randpunkt.
Vielleicht solltest Du das noch etwas ausführlicher begründen: ist f [mm] \in [/mm] A, so enthält jede [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von f, sowohl Punkte aus A (nämlich f) als auch Punkte aus M \ A (nämlich obiges g)
>
> [mm](ii)[/mm] Wir zeigen [mm]\partial A\cap (M\setminus A)=\emptyset[/mm]
>
> sei [mm]f\in M\setminus A[/mm]. f ist nicht konstant und deswegen
> gibt es [mm]x,y\in[0,1][/mm], sodass [mm]f(x)\neq f(y)[/mm]. Wähle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] so, dass [mm]2\varepsilon<|f(x)-f(y)|[/mm] gilt. Dann
> folgt für jedes [mm]c\in\mathbb{R}[/mm]:
>
> [mm]2\varepsilon<|f(x)-f(y)|=|f(x)-c+c-f(y)|\le |f(x)-c|+|c-f(y)| \le 2\cdot d(f,g)[/mm],
> also gilt [mm]\varepsilon
> [mm][0,1][/mm]
Auch hier solltest Du etwas ausfühlicher sein:
Du hast gezeigt: ist f [mm] \notin [/mm] A, so ex. ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit: d(f,g)> [mm] \varepsilon [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] A. Damit kann f kein Randpunkt von A sein.
Also: M \ A [mm] \subset [/mm] M \ [mm] \partial [/mm] A.
Oder: [mm] \partial [/mm] A [mm] \subset [/mm] A.
>
> also gilt [mm]\partial A=A[/mm]. (der rand von A ist A selbst)
>
>
> ist diese überlegung richtig?
Ja.
FRED
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> lg
> flo
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