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| Aufgabe | Zeige dass [mm] \partial [/mm] Y = [mm] \overline{Y} [/mm] \ [mm] Y^o
[/mm]
Zu Definitionen:
bel Teilmenge Y [mm] \subset [/mm] X , ist x [mm] \in Y^o [/mm] <=> [mm] \exists [/mm] Umgebung U welche noch ganz in Y enthalten ist
[mm] \overline{Y} [/mm] = [mm] \bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen} [/mm] F
Randpunkt:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0
[mm] U_\epsilon [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= [/mm] leer
[mm] U_\epsilon [/mm] (x) [mm] \cap A^c \not= [/mm] leer |
Was sol ich da zeigen?
Ist nicht mehr oder weniger offensichtlich [mm] \overline{Y}= [/mm] Y [mm] \cup \partial [/mm] Y
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 10.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeige dass [mm]\partial[/mm] Y = [mm]\overline{Y}[/mm] \ [mm]Y^o[/mm]
>
> Zu Definitionen:
> bel Teilmenge Y [mm]\subset[/mm] X , ist x [mm]\in Y^o[/mm] <=> [mm]\exists[/mm]
> Umgebung U welche noch ganz in Y enthalten ist
> [mm]\overline{Y}[/mm] = [mm]\bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen}[/mm] F
>
> Randpunkt:
Für $x [mm] \in \partial [/mm] A$:
> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0
> [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not=[/mm] leer
> [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap A^c \not=[/mm] leer
> Was sol ich da zeigen?
Vielleicht zeigen: [mm]\partial[/mm] Y [mm] \subset \overline{Y}[/mm] \ [mm]Y^o[/mm] und
[mm]\partial[/mm] Y [mm]\supset \overline{Y}[/mm] \ [mm]Y^o[/mm].
Oder: Für alle $x [mm] \in \partial [/mm] Y$ gilt: $x [mm] \in \overline{Y}$ [/mm] und $x [mm] \not\in Y^o$.
[/mm]
> Ist nicht mehr oder weniger offensichtlich [mm]\overline{Y}=[/mm] Y
> [mm]\cup \partial[/mm] Y
Ja, aber zu zeigen ist:
[mm]\partial[/mm] Y = [mm]\overline{Y}[/mm] \ [mm]Y^o[/mm]
>
Gruß
meili
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Hallo,
danke
ZZ.: Für alle $ x [mm] \in \partial [/mm] Y $ gilt: $ x [mm] \in \overline{Y} [/mm] $ und $ x [mm] \not\in Y^o [/mm] $.
<=> [mm] \exists [/mm] keine Umgebung U welche [mm] U\subseteq [/mm] Y und x [mm] \in [/mm] $ [mm] \bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen} [/mm] $ F
Sei x [mm] \in \partial [/mm] Y d.h.
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] $ > 0
$ [mm] U_\epsilon [/mm] $ (x) $ [mm] \cap [/mm] $ Y $ [mm] \not= [/mm] $ leer
$ [mm] U_\epsilon [/mm] $ (x) $ [mm] \cap Y^c \not= [/mm] $ leer
Daraus ersichtlich dass keine Epsilonumgebung von x ganz in Y sein kann da $ [mm] U_\epsilon [/mm] $ (x) $ [mm] \cap Y^c \not= [/mm] $ leer -> x [mm] \not\in Y^o [/mm]
Aber wie zeige ich: x [mm] \in [/mm] $ [mm] \bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen} [/mm] $ F
??
LG
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Hallo,
> ZZ.: Für alle [mm]x \in \partial Y[/mm] gilt: [mm]x \in \overline{Y}[/mm]
> und [mm]x \not\in Y^o [/mm].
> <=> [mm]\exists[/mm] keine Umgebung U von x welche [mm]U\subseteq[/mm] Y und x [mm]\in[/mm]
> [mm]\bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen}[/mm] F
Ja, damit zeigst du [mm] $\partial [/mm] Y [mm] \subset \overline{Y} \backslash Y^{o}$.
[/mm]
Allerdings verwirrt mich etwas eure Def. vom Rand. So wie du das schreibst, braucht man da ja mindestens einen metrischen Raum (wegen den Umgebungen [mm] $U_{\varepsilon}(x)$). [/mm] Hier liegt jetzt also ein metrischer Raum vor?
(Allgemein definiert man den Rand für topologische Räume als das, was du zeigen sollst, also [mm] $\partial [/mm] Y := [mm] \overline{Y} \backslash Y^{o}$. [/mm] Dadurch braucht man keine Metrik.)
> Sei x [mm]\in \partial[/mm] Y d.h.
> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0
> [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] Y [mm]\not=[/mm] leer
> [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap Y^c \not=[/mm] leer
> Daraus ersichtlich dass keine Epsilonumgebung von x ganz
> in Y sein kann da [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]\cap Y^c \not=[/mm] leer -> x
> [mm]\not\in Y^o[/mm]
Ja.
> Aber wie zeige ich: x [mm]\in[/mm] [mm]\bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen}[/mm]
> F
Per Widerspruch.
Angenommen, es gäbe $F [mm] \supset [/mm] Y$ abgeschlossen mit $x [mm] \not\in [/mm] F$. Es entsteht ein Widerspruch zu [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] U_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] Y [mm] \not= \emptyset$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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> Allerdings verwirrt mich etwas eure Def. vom Rand. So wie du das schreibst, braucht man da ja mindestens einen metrischen Raum (wegen den Umgebungen $ [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] $). Hier liegt jetzt also ein metrischer Raum vor?
Wenn man es aber so defeniert:
(ich hab glaube ich vorher die def. verwechselt mit der Definition des 1 Semesters!)
Alle Punkte x [mm] \in [/mm] X mit U [mm] \cap [/mm] Y [mm] \not= \{\} [/mm] und U [mm] \cap Y^c \not= \{\} \forall [/mm] U [mm] \in [/mm] U(x) bezeichnet den Rand von Y.
Dann hat man nicht solche [mm] \epsilon [/mm] - umgebungen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Allerdings verwirrt mich etwas eure Def. vom Rand. So wie
> du das schreibst, braucht man da ja mindestens einen
> metrischen Raum (wegen den Umgebungen [mm]U_{\varepsilon}(x) [/mm]).
> Hier liegt jetzt also ein metrischer Raum vor?
>
> Wenn man es aber so defeniert:
> (ich hab glaube ich vorher die def. verwechselt mit der
> Definition des 1 Semesters!)
> Alle Punkte x [mm]\in[/mm] X mit U [mm]\cap[/mm] Y [mm]\not= \{\}[/mm] und U [mm]\cap Y^c \not= \{\} \forall[/mm]
> U [mm]\in[/mm] U(x) bezeichnet den Rand von Y.
Das ist ja wieder sehr schlampig ausgedrückt !
Ist X ein top. Raum und Y eine Teilmenge von X, so gilt:
$ x [mm] \in \partial [/mm] Y$ [mm] \gdw [/mm] für jede Umgebung U von x ist U [mm] \cap [/mm] Y [mm] \ne \emptyset [/mm] und U [mm] \cap [/mm] (X \ Y) [mm] \ne \emptyset
[/mm]
FRED
> Dann hat man nicht solche [mm]\epsilon[/mm] - umgebungen
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Was ist an der Formulierung schlampig gewesen? Empfinde ich nicht so.
.) [mm] \partial [/mm] Y [mm] \subset \overline{Y} [/mm] ohne [mm] Y^o
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \partial [/mm] Y
ZZ: x [mm] \in \overline{Y}, [/mm] x [mm] \not\in Y^o
[/mm]
Da für alle Umgebungen U [mm] \in [/mm] U(x) ist U [mm] \cap [/mm] ( X \ Y) [mm] \not= \{\} [/mm] -> [mm] x\notin Y^o
[/mm]
[mm] \overline{Y} [/mm] = $ [mm] \bigcap_{F\supseteq Y, F abgeschlossen} [/mm] $ F
Ang [mm] \exists [/mm] abgeschlossene Menge F, F [mm] \supseteq [/mm] Y aber x [mm] \not\in [/mm] F
Wenn x [mm] \not\in [/mm] F dann x [mm] \in [/mm] (X \ F).
-> [mm] \exists [/mm] Umgebung U von x sodass U $ [mm] \cap [/mm] $ Y $ = [mm] \emptyset [/mm] $
-> Widerspruch.
.) [mm] \partial [/mm] Y [mm] \supset \overline{Y} [/mm] ohne [mm] Y^o
[/mm]
Sei x beliebig [mm] \in [/mm] ( [mm] \overline{Y} [/mm] \ [mm] Y^o), [/mm] d.h. x [mm] \in \overline{Y}, [/mm] x [mm] \not\in Y^o
[/mm]
ZZ.: x [mm] \in \partial [/mm] Y
zuzeigende gilt <=>für jede Umgebung [mm] U\in [/mm] U(x) gilt U$ [mm] \cap [/mm] $ Y $ [mm] \ne \emptyset [/mm] $ und U $ [mm] \cap [/mm] $ (X \ Y) $ [mm] \ne \emptyset [/mm] $
Da x [mm] \not \in Y^o \not\exists [/mm] Umgebung V [mm] \in [/mm] U(x) welche ganz in Y enthalten ist ->U $ [mm] \cap [/mm] $ (X \ Y) $ [mm] \ne \emptyset [/mm] $
Da x [mm] \in \overline{Y } [/mm] folgt U$ [mm] \cap [/mm] $ Y $ [mm] \ne \emptyset [/mm] $
ok?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 21.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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