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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:49 So 18.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nun kommt folgende Aufgabe:
Seien [mm] A,B\subset\IR [/mm] beliebige Teilmengen. Man zeige, dass für den Rand von [mm] A\times{B}\subset\IR^2 [/mm] gilt
[mm] \partial(A\times{B})=(\partial{A}\times\overline{B})\cup(\overline{A}\times\partial{B}).
[/mm]
Nun habe ich mal versucht:
[mm] \partial(A\times{B}) [/mm] = [mm] \{(a,b):a\in\partial{A}, b\in\partial{B})\}
[/mm]
stimmt das?
[mm] (\partial{A}\times\overline{B})=\{(a,b):a\in\partial{A}, b\in(B\cup\partial{B})\}
[/mm]
und
[mm] (\overline{A}\times\partial{B})=\{(a,b):a\in(A\cup\partial{A}), b\in\partial{B}\}
[/mm]
Dann wäre aber:
[mm] (\partial{A}\times\overline{B})\cup(\overline{A}\times\partial{B}) [/mm] = [mm] \{(a,b):a\in\partial{A}, b\in(B\cup\partial{B})\}\cup \{(a,b):a\in(A\cup\partial{A}), b\in\partial{B}\} [/mm] = [mm] \{(a,b):a\in(A\cup\partial{A}), b\in(B\cup\partial{B})\} [/mm] = [mm] \{(a,b):a\in\overline{A}, b\in\overline{B}\}
[/mm]
Irgendwo ist da wohl ein Fehler in meinen Gedanken? Aber wo?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 18.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\partial(A\times{B})[/mm] = [mm]\{(a,b):a\in\partial{A}, b\in\partial{B})\}[/mm]
>
> stimmt das?
Nö. Was ist der Rand von [m](0,1)[/m]? Was ist der von [m](0,1)^2[/m]? Was wäre deine Menge?
Nun zur aufgabe: wichtig ist hier, daß [m]\IR^2[/m] ja gerade die Produkttopologie trägt, dh die Randpunkte charaktisiert durch "jede offene Umgebung des Punktes enthält Punkte von [m]A\times B[/m] und welche vom Komplement" lässtsich dann für offene Kästchen interpretieren. Jetzt zeige als erstes, das dann eine Koordinate auch ein Randpunkt in A bzw. B ist.
Das reicht dann, denn: der Randpunktliegt sicher in [m]\overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}[/m] (Übung: warum herrscht hier aber Gleichheit?), und das alle Punkte, die in der Menge oben Rechts entahlten sind, Randpunkte sind, ist auch leicht zu zeigen.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 So 18.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> > [mm]\partial(A\times{B})[/mm] = [mm]\{(a,b):a\in\partial{A}, b\in\partial{B})\}[/mm]
>
> >
> > stimmt das?
>
> Nö. Was ist der Rand von [m](0,1)[/m]? Was ist der von [m](0,1)^2[/m]?
> Was wäre deine Menge?
Na, wahrscheinlich dann das, was bei mir am Ende rauskam... Aber warum? Der Rand von (0,1) ist wohl [mm] \{0,1\}, [/mm] oder? Aber wie kommt man dann auf den Rand von [mm] (0,1)^2? \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}?
[/mm]
> Nun zur aufgabe: wichtig ist hier, daß [m]\IR^2[/m] ja gerade die
> Produkttopologie trägt, dh die Randpunkte charaktisiert
> durch "jede offene Umgebung des Punktes enthält Punkte von
> [m]A\times B[/m] und welche vom Komplement" lässtsich dann für
> offene Kästchen interpretieren. Jetzt zeige als erstes, das
> dann eine Koordinate auch ein Randpunkt in A bzw. B ist.
Leider verstehe ich das überhaupt nicht. Was meinst du denn mit "offene Kästchen"? Und was hat das mit der Aufgabe zu tun? War meine Vorgehensweise nicht richtig?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 18.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Nö. Was ist der Rand von [m](0,1)[/m]? Was ist der von [m](0,1)^2[/m]?
> > Was wäre deine Menge?
> Na, wahrscheinlich dann das, was bei mir am Ende rauskam...
Das Beispiel hattest du ja nicht ... ich weiß nicht, auf was du da hinauswillst.
> Aber warum? Der Rand von (0,1) ist wohl [mm]\{0,1\},[/mm] oder?
Ja
> Aber wie kommt man dann auf den Rand von [mm](0,1)^2[/mm]?
Also, das sollte doch eigentlich kein Problem darstellen: welche Punkte haben in jeder Umgebung von diesem Punkte aus derMenge und aus dem Äußeren? Ein kleines Bild malen hilft da sehr! Dann sollte das wie Schuppen von den Augen fallen.
> [mm] \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}?[/mm]
Das ist sicher nicht der Rand.
> Leider verstehe ich das überhaupt nicht. Was meinst du denn
> mit "offene Kästchen"?
Produkte offener, beschränkter Intervalle, also hier wären die Kästchen von der Form [m](a_1,a_2\times(b_1,b_2)[/m].
> Und was hat das mit der Aufgabe zu
> tun?
Man muss das ganze auf den eindimensionalen Fall zurückspielen - das war meine Idee dazu. Diese Kästchen kommen ganz natürlich wenn man mal das ganze auf eine Koordinate projiziert und wieder Urbilder betrachtet.
> War meine Vorgehensweise nicht richtig?
Weder die erste Aussage, noch das zweite - da ist bei der Gleichungskette das zweite Gleichheitszeichen einfach falsch.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> > > Nö. Was ist der Rand von [m](0,1)[/m]? Was ist der von [m](0,1)^2[/m]?
> > > Was wäre deine Menge?
> > Na, wahrscheinlich dann das, was bei mir am Ende
> rauskam...
>
> Das Beispiel hattest du ja nicht ... ich weiß nicht, auf
> was du da hinauswillst.
Oh, ich meinte dann den Rand von meiner Menge. Das ist wahrscheinlich das, was bei mir in der letzten Zeile dann rauskam.
> > Aber warum? Der Rand von (0,1) ist wohl [mm]\{0,1\},[/mm] oder?
>
> Ja
>
> > Aber wie kommt man dann auf den Rand von [mm](0,1)^2[/mm]?
>
> Also, das sollte doch eigentlich kein Problem darstellen:
> welche Punkte haben in jeder Umgebung von diesem Punkte aus
> derMenge und aus dem Äußeren? Ein kleines Bild malen hilft
> da sehr! Dann sollte das wie Schuppen von den Augen
> fallen.
Wie sieht denn diese Menge aus? Ist es nicht ein Quadrat mit Seitenlänge 1? Ich verstehe nicht, was da dann sonst der Rand sein soll!
> > [mm]\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}?[/mm]
>
> Das ist sicher nicht der Rand.
>
> > Leider verstehe ich das überhaupt nicht. Was meinst du denn
> > mit "offene Kästchen"?
>
> Produkte offener, beschränkter Intervalle, also hier wären
> die Kästchen von der Form [m](a_1,a_2\times(b_1,b_2)[/m].
>
> > Und was hat das mit der Aufgabe zu
> > tun?
>
> Man muss das ganze auf den eindimensionalen Fall
> zurückspielen - das war meine Idee dazu. Diese Kästchen
> kommen ganz natürlich wenn man mal das ganze auf eine
> Koordinate projiziert und wieder Urbilder betrachtet.
>
> > War meine Vorgehensweise nicht richtig?
>
> Weder die erste Aussage, noch das zweite - da ist bei der
> Gleichungskette das zweite Gleichheitszeichen einfach
> falsch.
Dass da irgendwo ein Fehler drin ist, war mir klar, sonst wäre ja das richtige rausgekommen. Warum hast du denn nicht direkt drunter geschrieben, wo der Fehler ist? Und außerdem wollte ich jetzt nur wissen, ob die Vorgehensweise von mir nicht möglich ist. Da ich deine leider nicht verstehe und nicht weiß, warum meine falsch sein soll.
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 19.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> > > Aber wie kommt man dann auf den Rand von [mm](0,1)^2[/mm]?
[...]
> Wie sieht denn diese Menge aus? Ist es nicht ein Quadrat
> mit Seitenlänge 1? Ich verstehe nicht, was da dann sonst
> der Rand sein soll!
Ja, sicher - aber das offene Quadrat! zBfehlt der Punkt [m](0.5,1)[/m].
> Dass da irgendwo ein Fehler drin ist, war mir klar, sonst
> wäre ja das richtige rausgekommen. Warum hast du denn nicht
> direkt drunter geschrieben, wo der Fehler ist?
Naja, die eine Gleichung stimmt halt nicht - und das sieht man zB mit meinem Beispiel. Oder anders: die rechte Seite kann Punkteentahlten,die in keienr Koordinate auf dem rand sind,die linke nicht.
> Und außerdem
> wollte ich jetzt nur wissen, ob die Vorgehensweise von mir
> nicht möglich ist.
Du schreibst halt einfach eine Gleichung hin, wobei beim zweiten Gleicheitszeichen (in der letzten Zeile, vielleicht war das dasMisverständnis?) nurn die Inklusion von links nach rechts stimmt. Es ist halt schwer den Fehler in deinen Gedanken zu finden, wenn da blos eine Gleichung steht - du hast ja die Gleichung gar nicht begründet. Prinzipiell ist es schon möglich, so etwas durch Gleichungsketten zu zeigen, dann sollte man aber die nicht trivialen begründen.
SEcki
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