Radioaktiver Zerfall < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Omega82 |
| Aufgabe | Bei einer radioaktiven Zerfallsreihe zerfällt eine radioaktive Ausgangssubstanz [mm] S_{1} [/mm] in eine radioaktive Substanz [mm] S_{1}, [/mm] diese in [mm] S_{3} [/mm] usw., bis der Prozess bei einer stabilen Substanz Sn endet.
Bei einem radioaktiven Zerfall in die Zerfallsrate jeweils proportional zur aktuell vorhandenen Substanzmenge. Der zugehörige Proportionalitätsfaktor wird dann als Zerfallskonstante bezeichnet. Ist [mm] d_{i} [/mm] die Zerfallskonstante von [mm] S_{i} [/mm] (i ist hier Index), so lässt sich die Zerfallsreihe sympolisch so darstellen:
[mm] S_{1} --d_{1}-->S_{2}--d_{2}-->S_{3}--... ---d_{n-1}-->S_{n} [/mm] (*)
Betrachten Sie nun die dreigliedrige Zerfallsreihe (*) mit [mm] S_{3} [/mm] als Ende. Mit [mm] m_{1}(t), m_{2}(t) [/mm] und [mm] m_{3}(t) [/mm] seien die zum Zeitpunkt t>0 vorhandene Mengen [mm] S_{1}, S_{2}, S_{3} [/mm] bezeichnet.
Stellen Sie ein zugehöriges Differentialgleichungssystem für [mm] m_{1}, m_{2}, m_{3} [/mm] auf und lösen Sie dieses unter Voraussetzung, dass zu Beginn des Zerfallsprozesses die Substanz [mm] S_{1} [/mm] in der Menge M vorliegt. |
Hallo,
also zu meinem Lösungsansatz:
Es sind zwei Zerfallsprozesse, also bekomme ich zwei Dgls., die ich dann in ein System setzen muss.
Ich stelle mir die Situation wie folgt vor.
Am Anfang habe ich eine Substanz [mm] S_{1}, [/mm] die mit einer Rate von [mm] d_{1} [/mm] im Zeitraum t>0 sich zu [mm] S_{2} [/mm] verwandelt (zerfällt). Dann zerfällt [mm] S_{2} [/mm] im gleichen Zeitraum zu [mm] S_{3} [/mm] mit der Rate [mm] d_{2}. [/mm] Die Rate [mm] d_{2} [/mm] ist nun eine neue, denn [mm] S_{1} [/mm] ist nicht [mm] S_{2}. [/mm]
1. Frage: Ist der Zeitraum t>0 fest gewählt, damit es einfacher (Idealisierung der Situation) wird oder ist der Zerfallsprozess von [mm] S_{1} [/mm] zu [mm] S_{2} [/mm] und von [mm] S_{2} [/mm] zu [mm] S_{3} [/mm] auch manchmal in der gleichen Zeiteinheit T zerfallen?
2. Meine Dgls. sind:
[mm] m_{1}(0)=M
[/mm]
[mm] m_{1}(t)'=M-d_{1}*S_{1}(t)
[/mm]
Der Prozess endet bei mir dann nach T>0 Zeit.
Dann ist [mm] m_{1}(T)=S_{2}. [/mm] Also beginnt der Prozess von [mm] S_{2}, [/mm] wenn der Zerfallsprozess von [mm] S_{1} [/mm] beendet ist, richtig?
[mm] m_{2}(0)=S_{2}
[/mm]
[mm] m_{2}(t)'=S_{2}-d_{2}*S_{2}(t)
[/mm]
[mm] m_{2}(T)=S_{3}.
[/mm]
Nun weiß ich allerdings nicht so recht, wie ich dies in ein System verpacken soll.
Kann mir jemand helfen?
Besten Dank,
Omega82
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Idee, dass alles nacheinander passiert ist falsch.
während S1 zerfällt, zerfällt auch S2
Erstmal zerfällt S1 ganz unabhängig davon, wieviel S2 und S3 da ist.
die Zerfallsrate gibt an wieviel pro Zeiteinheit und v und Mengeneinheit zerfällt, also
S'(t)=-d*S(t)
im prinzip gilt das für S1 und S2
aber S2 zerfällt nicht nur, sondern kriegt auch Zuwachs! und zwar genau das, was S1 verloren geht .
S3 bekommt alles, was S2 verloren geht.
insgesamt gilt massenerhaltung also s1(t)+s2(t)+s3(t)=konst =s1(0)+s2(0)+s3(0)
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:05 Do 02.12.2010 | | Autor: | Omega82 |
Hallo Leduart,
danke für deine Antwort.
Okay, also läuft der Prozess nicht komplett so hintereinander.
Ich denke mir das also so:
Sagen wir mal, ich habe Substanz S, die zerfällt innerhalb von 2 Stunden um 20% in die Substanz T und eine Substanz T, die innerhalb der gleichen 2 Stunden in eine Substanz K zerfällt mit 40%.
Dann hat sich S nach 2 Stunde um 20% verringert, während sich diese 20% von S in T verwandelt haben und innerhalb dieser 2 Stunden zu dem Bestand von T dazu gekommen sind. Dieses Substanz T + 20% von S, was nun T ist, zerfällt mit einer Rate von 40%.
Habe ich das so richtig verstanden?
Also ist der Prozess von [mm] S_{1} [/mm] zu [mm] S_{2} [/mm] stetig mit einer Zerfallrate von [mm] d_{1}. [/mm] Gleichzeitig zerfällt aber auch schon [mm] S_{2} [/mm] mit einer Rate von [mm] d_{2}, [/mm] hat jedoch noch den Zerfallsrest von [mm] S_{1} [/mm] zu bewerkstelligen.
Ja, richtig verstanden?
Dann hätte ich also für
[mm] S_{1}(t)'=-d_{1}S_{1}(t)
[/mm]
[mm] S_{2}'(t)=-d_{2}(S_{2}(t)+d_{1}S_{1}(t))
[/mm]
Grüße,
Omega82
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 04.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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