Radioaktiver Zerfall < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 29.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ich habe diese Frage hier in diesem Forum zwar schon mal gestellt, will mich aber vergewissern, dass ich sie auch richtig und verstanden habe.
Hi, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Aufgabe:
Sei N(t) die Zahl der zur Zeit t vorhandenen radioaktiven Atomkerne. Die pro Zeiteinheit zerfallenden Atomkerne dN(t)/dt sind proportional zu N(t).
Formulieren sie nun diese Aussage als homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für N(t) mit konstanten Koeffizienten?
a) Zeigen sie, dass ein Exponentialeinsatz für die Fundamentallösung zur allgemeinen Lösung für N(t) mit einer multiplikativen unbestimmten Konstanten führt.
b) Bestimmen sie die Konstante für die Anfangsbedingung [mm] N(t)=N_{0}.
[/mm]
Also was ich bereits habe ist:
[mm] N(t)=A*e^{Bt}
[/mm]
[mm] N'(t)=A*B*e^{Bt}
[/mm]
[mm] A*B*e^{Bt}=-k*A*e^{Bt}
[/mm]
Hierbei ist A wohl die Anfangmenge des Vorrats.
in t=1/k zerfällt also 1/e des Vorrats oder die Hälfte eben in ln2/k
[mm] N(t_{0})=A*e^{-kt_{o}}
[/mm]
Ist [mm] N'(t)=A*B*e^{Bt} [/mm] die homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für N(t) mit konstanten Koeffizienten?
Ist die Antwort für a) schon gegeben, indem diese Konstante in [mm] A*B*e^{Bt}=-k*A*e^{Bt} [/mm] auftaucht?
Und muss ich um b) zu beantworten nur [mm] N(t_{0})=A*e^{-kt_{o}} [/mm] nach k umstellen?
Was fehlt mir hier sonst noch, was muss ich ergänzen und was hab ich vergessen bzw. nicht bedacht?
Würd mich über eine Rückmeldung sehr freuen!
Danke.
MFG
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Du fängst irgendwie mittendrin an....
Also, da steht ja:
> Die pro Zeiteinheit zerfallenden Atomkerne dN(t)/dt sind proportional zu N(t)
Das heißt also
[mm] $\bruch{dN(t)}{dt}=-k*N(t)$
[/mm]
Das ist deine DGL. Ob das Minus da steht oder nicht, ist egal, denn wenn du es weg läßt, wird k eben negativ. Aber normalerweise schreibt man es schon hin, weil die Menge abnimmt, also ist es eine negative Wachstumsgeschwindigkeit.
Du sollst nun zeigen, daß der exp. Ansatz [mm] A*e^{Bt} [/mm] diese DGL löst.
Das Einsetzen zeigt dann tatsächlich, daß A unbestimmt ist, während B aus k hervorgeht.
Das ist alles.
Zu b: Sollte das nicht [mm] N(t=0)=N_0 [/mm] heißen? Dann setzt du einfach t=0 ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 29.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ok, das ist mir schon mal eine sehr grosse Hilfe, Danke!
Ich setzte also [mm] A*e^{Bt} [/mm] für N(t) in diese Differentialgleichung ein, so dass ich [mm] (dN(t))/dt=-k*A*e^{Bt} [/mm] erhalte. Woran genau sehe ich denn, dass A unbestimmt ist und B aus k hervorgeht bzw. wie zeige ich, daß der exp. Ansatz diese DGL löst ? Und A ist ja der Anfangvorrat, aber was ist B genau?
Für t=0 resultiert dann: (dN(t))/dt=-k*A.
Ist das soweit korrekt?
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 29.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie hast du das mit den Dgl. in der Physik nicht verstanden.
Die Dgl gibt das allgemeine verhalten, hier eines radioaktiven Stoffes an. dabei kennt man das eigentliche experiment noch nicht.
die dgl. hat (wenn man glueck hat eine allgemeine Loesung.
die raet man hier als [mm] n(t)=A*e^{Bt}
[/mm]
Raten allein kann falsch sein. drum setzt man das geratene in die Dgl. ein. dann stellt sich heraus, dass die eingesetzte funktion nur richtig ist, wenn B=-k ist. Was A ist, ist der Dgl egal!
Wenn man jetzt an ein spezielles Experiment denkt, wo man z.Bsp. die Menge zur Zeit t=0 oder zur Zeit t=77s weiss (und k bekannt ist im 2.fall) dann kann man A bestimmen. Wenn man [mm] N(t=0)=N_0 [/mm] kennt, ist A wie man durch einsetzen sieht, die Groesse also [mm] A=N_0.
[/mm]
was k bedeutet hast du ja selbst beschrieben, es ist fuer einen bestimmten Stoff ein fester Wert, fuer einen anderen stoff ein anderer fester Wert. Um k zu messen muss man N(t) an mindestens 2 Zeitpunkten kennen.
Gruss leduart
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Genau.
Um es nochmal konkret zu sagen, du setzt deinen Ansatz und natürlich auch dessen Ableitung ein, das hast du bereits gemacht:
$ [mm] A\cdot{}B\cdot{}e^{Bt}=-k\cdot{}A\cdot{}e^{Bt} [/mm] $
Das war das pure Einsetzen, und nu mußt du schauen, ob diese Gleichung überhaupt gültig ist. Und das ist sie offensichtlich NUR DANN, wenn B=-k ist. Welchen Wert A in dieser Gleichung annimmt, ist völlig egal!
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