Radikal berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Do 29.06.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Berechne das Radikal der hermiteschen Form
( [mm] \pmat{ x_{1}\\ x_{2}\\x_{3} }, \pmat{ y_{1}\\ y_{2}\\y_{3} }) \to (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \pmat{ 1 & -i & -i \\ i & 2 & 1\\ i & 1 & 1 } \pmat{ \overline {y_{1}}\\ \overline {y_{2}} \\ \overline {y_{3}}} [/mm] |
Hallo,
irgendwie komme ich bei dieser Rechenaufgabe nicht weiter!
Radikal heißt ja, dass für ein v [mm] \in [/mm] V gilt v [mm] \perp [/mm] u [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V, das heißt ja <v,u> = 0 oder?
Das heißt ich berechne die rechte seite und gucke, wann es 0 wird, oder? Aber ich kann mit dem konjugierten nichts anfangen:
.. = [mm] \pmat{ x_{1} + ix_{2} + ix_{3}\\ -ix_{1} + 2x_{2} + x_{3} \\ -ix_{1} + x_{2} + x_{3} } \pmat{ \overline {y_{1}}\\ \overline {y_{2}} \\ \overline {y_{3}}} [/mm] = [mm] \pmat {0\\0\\0}.
[/mm]
Stimmt das bis hier? Wenn ja, wie mache ich hier weiter?
Danke im voraus!
Lg,
Sherin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Was du bisher gemacht hast, ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt solltest du verwenden, dass die Gleichung für alle $y$ genau dann erfüllt ist, wenn sie für alle Elemente einer Basis erfüllt ist. Setze also einfach $y=(1,0,0), (0,1,0)$ und $(0,0,1)$. Dann erhältst du ein Gleichungssystem, dessen Lösungsraum genau das Radikal der hermitschen Form ist. Seine Koeffizienten sind genau die der zu grunde liegenden Matrix. Daran kannst du dann i.A. über die Determinante erkennen, ob eine hermitsche Form ein nichttriviales Radikal besitzt oder nicht.
Liebe Grüße,
Hanno
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