Radikal Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 So 17.03.2013 | | Autor: | hippias |
> [mm]I:= \subset \IC.[/mm] Bestimme [mm]\wurzel{I}.[/mm]
> Hallo,
> ich möchte das Radikal von I bestimmen. Allgemein kenne
> ich diese Definition eines Ideals:
> Sei A [mm]\subset[/mm] R, wobei R ein Ring ist. Das von A erzeugte
> Ideal <A> besteht aus allen endlichen Summen
> [mm]r_{1}*f_{1}+...+r_{s}*f_{s},[/mm] wobei [mm]r_{i} \in[/mm] R und [mm]f_{i} \in[/mm]
> A. Also:
> [mm]==\{r_{1}*f_{1}+...+r_{s}*f_{s} | r_{i} \in R\}.[/mm]
>
> Die Definition des Radikals:
> [mm]\wurzel{I}[/mm] := [mm]\{f \in R | \exists n \in \IN: f^n \in I\}.[/mm]
>
> Nun sagte man mir, dass in obiger Aufgabe gilt:
> [mm]\wurzel{I}=.[/mm] Doch wieso nur das x? [mm]y^n[/mm] liegt doch auch
> in I:
> 0 * [mm]x^3[/mm] + [mm]x^{-2}*y^{n-1}[/mm] * [mm]x^2*y[/mm] = [mm]y^n.[/mm]
> Demnach müsste ja [mm]\wurzel{I}=[/mm] gelten.
>
> Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt? Offensichtlich
> verstehe ich hier irgendetwas falsch.
In der Tat: Du hast die Aufgabe nicht richtig wiedergegeben, denn das Ideal wird sicher in dem Polynomring [mm] $\IC[x,y]$ [/mm] betrachtet und nicht in dem Koerper [mm] $\IC$. [/mm] In dem Ring existiert [mm] $x^{-2}$ [/mm] nicht.
>
> Grüße
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 17.03.2013 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
du hast natürlich Recht, da habe ich einen Fehler beim tippen gemacht, es muss natürlich [mm] \IC[x,y] [/mm] heißen.
Und auch an das nicht existieren der multiplikativen Inversen habe ich nicht gedacht! Danke!
Kannst du mir dann noch kurz erläutern, wie man aus [mm] [/mm] das Element [mm] x^2 [/mm] erzeugt? Allgemein muss ja [mm] x^n [/mm] in I liegen (für alle n), da <x> das Radikal ist. Für [mm] x^s [/mm] mit s >= 3 sehe ich das noch, da ich dann ja immer [mm] x^k [/mm] * [mm] x^3 [/mm] rechnen kann mit k = s-3.
Aber wie komme ich dann ohne Inverse auf [mm] x^2?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 So 17.03.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> du hast natürlich Recht, da habe ich einen Fehler beim
> tippen gemacht, es muss natürlich [mm]\IC[x,y][/mm] heißen.
> Und auch an das nicht existieren der multiplikativen
> Inversen habe ich nicht gedacht! Danke!
>
> Kannst du mir dann noch kurz erläutern, wie man aus
> [mm][/mm] das Element [mm]x^2[/mm] erzeugt? Allgemein muss ja [mm]x^n[/mm]
> in I liegen (für alle n),
Nein, das ist nicht die Definition des Radikals.
> da <x> das Radikal ist. Für [mm]x^s[/mm]
> mit s >= 3 sehe ich das noch, da ich dann ja immer [mm]x^k[/mm] *
> [mm]x^3[/mm] rechnen kann mit k = s-3.
> Aber wie komme ich dann ohne Inverse auf [mm]x^2?[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 So 17.03.2013 | | Autor: | Pauli85 |
Ach natürlich, es muss nur ein n existieren... Da hatte ich gerade etwas verwechelt. Danke.
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