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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Sei [mm] V=K^n [/mm] und sei für eine symmetrische Matrix A [mm] \in M_n [/mm] (K) eine symm. Bilinearform [mm] \beta: [/mm] V x V --> V gegeben durch [mm] \beta [/mm] (x,y)= [mm] x^t [/mm] Ay. Zeige: ker A = rad(V, [mm] \beta). [/mm] |
Hallo, ist ist doch Ker f = { v [mm] \in [/mm] V | f(v)=0 [mm] \in [/mm] W} (f: V --> W). Das radikal wurde definiert als rad(V)= { v [mm] \in [/mm] V | [mm] \beta [/mm] (v,w)=0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V}
Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht was es zu zeigen gibt, bzw. wie man das zeigt...
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Mo 22.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Trikolon,
> Sei [mm]V=K^n[/mm] und sei für eine symmetrische Matrix A [mm]\in M_n[/mm]
> (K) eine symm. Bilinearform [mm]\beta:[/mm] V x V --> V gegeben
> durch [mm]\beta[/mm] (x,y)= [mm]x^t[/mm] Ay. Zeige: ker A = rad(V, [mm]\beta).[/mm]
> Hallo, ist ist doch Ker f = [mm] $\{ v \in V | f(v)=0 \in W\}$ [/mm] (f:
> V --> W). Das radikal wurde definiert als rad(V)= [mm] $\{ v \in
> V | \beta (v,w)=0 \forall w \in V\}$
[/mm]
>
> Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht was es zu zeigen gibt,
> bzw. wie man das zeigt...
Zeige: ker A = [mm] rad$(V,\beta)$
[/mm]
Also zeige:
ker A [mm] $\subset$ rad$(V,\beta)$ [/mm]
und
ker A [mm] $\supset$ rad$(V,\beta)$
[/mm]
Oder anders ausgedrückt:
Für $v [mm] \in$ [/mm] ker A beliebig aber fest [mm] $\Rightarrow [/mm] v [mm] \in \mbox{rad}(V,\beta)$
[/mm]
und
$w [mm] \in \mbox{rad}(V,\beta)$ [/mm] beliebig aber fest [mm] $\Rightarrow [/mm] w [mm] \in$ [/mm] ker A
A ist nicht konkret angeben, sondern hat nur die beschriebenen Eigenschaften,
so bleiben hauptsächlich die von dir anggebenen Definitionen von Kern
und Radikal für den Beweis.
>
> Danke im Voraus.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ok, wenn ich jetzt mal zeigen will, dass ker A $ [mm] \subset [/mm] $ rad$ [mm] (V,\beta) [/mm] $ und dafür ein beliebiges Element aus dem Kern herhole, wie bringe ich dann m.H. der Definition das Radikal ins Spiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Di 23.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ok, wenn ich jetzt mal zeigen will, dass ker A [mm]\subset[/mm] rad[mm] (V,\beta)[/mm]
> und dafür ein beliebiges Element aus dem Kern herhole, wie
> bringe ich dann m.H. der Definition das Radikal ins Spiel?
Wenn $v [mm] \in [/mm] $ ker A ist, so ist $A*v = 0$.
Was bedeutet das für $v^TAw$ mit $w [mm] \in [/mm] V$?
(A symmetrisch)
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Dann müsste dieses Produkt doch auch 0 sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mi 24.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Dann müsste dieses Produkt doch auch 0 sein, oder?
Ja, da $v^TA = [mm] (0,\ldots, [/mm] 0)$.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Do 25.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Damit ist doch dann schon gezeigt, dass der Kern im radikal enthalten ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Do 25.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Damit ist doch dann schon gezeigt, dass der Kern im radikal
> enthalten ist, oder?
Ja.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 25.04.2013 | | Autor: | Trikolon |
Und nun zum anderen Enthalten:
Sei v [mm] \in [/mm] rad (V, [mm] \beta). [/mm]
Dann gilt: [mm] \beta [/mm] (v,w)=0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V. Also [mm] \beta [/mm] (v,V)=0 Und damit A*v=0. Also ist v [mm] \in [/mm] KerA. Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Do 25.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Und nun zum anderen Enthalten:
>
> Sei v [mm]\in[/mm] rad (V, [mm]\beta).[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\beta[/mm] (v,w)=0 [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm] V. Also [mm]\beta[/mm]
> (v,V)=0 Und damit A*v=0. Also ist v [mm]\in[/mm] KerA. Geht das so?
Im Prinzip schon.
[mm] $\beta$(v,V) [/mm] = 0 ist vielleicht eine etwas ungewöhnliche Schreibweise,
aber vielleicht in Sinne von "Bild von" zu verstehen.
Man könnte noch argumentierten, dass wegen [mm] $\beta$(v,w) [/mm] = 0 [mm] $\forall$ [/mm] w [mm] $\in$ [/mm] V,
$v^TA = [mm] (0,\ldots, [/mm] 0)$ sein muss, und wegen A symmetrisch, dann A*v = 0,
also v [mm] $\in$ [/mm] KerA.
Gruß
meili
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