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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:39 So 22.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Für die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung [mm] 4\bruch{\partial u}{\partial t}=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,2], t [mm] \ge [/mm] 0 mit den Randbedingungen u(0,t)=u(2,t)=0, t [mm] \ge0 [/mm] bekommt man mit dem Produktansatz die Entwicklung [mm] u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}B_{n}*e^{-(\bruch{n*\pi}{4})^2 t)sin(\bruch{\pi}{2}nx)} [/mm] mit freien Koeffizienten [mm] B_{n}. [/mm] Berechnen Sie die (eindeutig bestimmte) Lösung u(x,t), für die die Anfangsbedingung u(x,0)=(2-x)sin [mm] \bruch{\pi}{2}x [/mm] gilt. |
Hi Leute, weiß nicht wie man bei der Aufgabe weitermacht :(
hab bis jetzt folgendes aufgeschrieben:
Gegeben: [mm] 4\bruch{\partial u}{\partial t}=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}
[/mm]
[mm] \gdw 4\bruch{\partial u}{\partial t}-\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}=0
[/mm]
[mm] \gdw 4u_{t}-u_{xx}
[/mm]
u(0,t)=u(2,t)=0, t [mm] \ge0
[/mm]
u(x,0)=(2-x)sin [mm] \bruch{\pi}{2}x [/mm] (*)
Mit Produktansatz erhält man die [mm] Lösung:u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}B_{n}*e^{-(\bruch{n*\pi}{4})^2 t)sin(\bruch{\pi}{2}nx)}
[/mm]
Mit (*) muss also gelten: t=0
[mm] u(x,t)=\summe_{n=1}^{\infty}B_{n}=(2-x)sin \bruch{\pi}{2}x=f(x)
[/mm]
Problem: [mm] B_{n} [/mm] gesucht, so dass [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}B_{n}
[/mm]
Wir sollen das ja jetzt mit der Forierreihe lösen...also meine erste Frage ist: Ist der Term hinter der Summe jetzt gerade oder ungerade, weil es tauchen ja weder sin- noch cos-Terme auf...
Gruß david
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 So 22.01.2012 | | Autor: | David90 |
Achso ich habe den Hinweis vergessen: Die Fourierintegrale sind vollständig auszuwerten: verwenden Sie Additionstheoreme und partielle Integration. Die Fourierkoeffizienten sind möglichst stark zu vereinfachen (sie sind häufig gleich null...). Sie brauchen den Nachweis der punktweisen Konvergenz Ihrer Fourierreihe nicht zu erbringen.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:01 Mo 23.01.2012 | | Autor: | David90 |
Also wenn der Term ungerade ist, weil auf der rechten Seite gibts ja nen sin-Term, dann würd ich folgendermaßen weitermachen:
Lösung: Setze f so fort, dass alle Anforderungen (nämlich periodisch; ungerade da keine cos-Terme vorhanden sind)
Setze also:
[mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [0,2] \\ -f(-x), & \mbox{für } x \in [-2,0], g(x+4)=g(x) \end{cases}
[/mm]
Kann man das bis dahin so machen?
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 25.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mo 23.01.2012 | | Autor: | chrisw |
hi david,
finde ich, diese aufgabe wie [mm] u(x,t)=\summe_{i=1}^{n}Bnexp(-(n\pi/2)^{2}t)sin(nx\pi/2)
[/mm]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:25 Mi 25.01.2012 | | Autor: | kozlak |
> [mm]u(x,t)=\summe_{i=1}^{n}Bnexp(-(n\pi/2)^{2}t)sin(nx\pi/2)[/mm]
Hallo, schlage mich auch gerade mit dieser Aufgabe rum.
Sei u(x,0) = f(x), x [mm] \in [/mm] [0,l], f stückw. stetig, erfüllt f(0)=f(2)=0 und [mm] f(x)=(2-x)sin(\bruch{\pi x}{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)= [mm] u(x,0)=\summe_{i=1}^{n}Bn*sin(nx\pi/2)=\summe_{i=1}^{n}Bn*sin(nx\pi/l).
[/mm]
Um Fourieransatz zu nutzen
, sei f(x) bestandteil einer Funktion g(x), die auf ganz R definiert ist. ZUdem soll g(x) ungerade sein:
[mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [0,l] \\ -f(-x), & \mbox{für } x \in [-l,0], g(x+2l)=g(x) \end{cases}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{g(x-0)+g(x+0)}{2}=\summe_{i=1}^{n}Cn*sin(nx\pi/l)
[/mm]
mit [mm] Cn=\bruch{1}{l}\integral_{0}^{2l}{g(x) sin\bruch{\pi*n*x}{l}dx}.
[/mm]
Ist das bisher okay? Wenn ja, wie kann ich weiter verfahren?
mfg,
kozlak
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:35 Mi 25.01.2012 | | Autor: | kozlak |
Hallo,
> mit [mm]Cn=\bruch{1}{l}\integral_{0}^{2l}{g(x) sin\bruch{\pi*n*x}{l}dx}.[/mm]
Kann ich einfach [mm] Cn=Bn=\bruch{2}{l}\integral_{0}^{l}{f(x) sin\bruch{2*\pi*n*x}{l}dx} [/mm] schreiben?
mfg,
kozlak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 25.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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