R^3 ist ein Q Vektorraum. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) [mm] \IR^3 [/mm] ist ein [mm] \IQ [/mm] Vektorraum.
2) [mm] \IZ [/mm] ist ein [mm] \IR [/mm] Vektorraum.
Richtig oder falsch? |
Also ich versteh diese Aufgabe gar nicht? Wieso soll bitte ein Körper also [mm] \IZ [/mm] ein Vektorraum sein und noch dazu [mm] \IR?
[/mm]
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Hallo,
Zunächst ist jeder Körper ein Vektorraum über sich selbst. D.h. ein bel. Körper $\ [mm] \IK^n [/mm] $ ist immer auch ein $\ [mm] \IK-$Vektorraum.
[/mm]
Schau dir die Vektorraumaxiome an und prüfe, ob sie jeweils zutreffen.
Grüße
ChopSuey
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> Hallo,
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> Zunächst ist jeder Körper ein Vektorraum über sich
> selbst. D.h. ein bel. Körper [mm]\ \IK^n[/mm] ist immer auch ein [mm]\ \IK-[/mm]Vektorraum.
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> Schau dir die Vektorraumaxiome an und prüfe, ob sie
> jeweils zutreffen.
wo zu treffen kannst du ein beispiel geben zu 1 oder 2 oder was anderes?
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Hallo,
1):
$V = [mm] \IR^{3}$ [/mm] über $K = [mm] \IQ$.
[/mm]
Die Vektoren aus V haben also die Form [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}, [/mm] wobei [mm] v_{1},v_{2},v_{3}\in\IR. [/mm] Dahingegen sind die Skalare, mit denen du Vektoren multiplizierst, aus [mm] \IQ.
[/mm]
Wenn V ein Vektorraum über K sein soll, muss die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wieder im Vektorraum sein. Bei dir konkret heißt das: für [mm] \lambda\in\IQ, v\in\IR^{3} [/mm] muss wieder
[mm] $\lambda*v\in [/mm] V$
gelten. Ist das der Fall? Dazu die Überlegung:
[mm] $\lambda*v [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda*v_{1}\\\lambda*v_{2}\\\lambda*v_{3}}\in\IR^{3}$
[/mm]
Der Vektor ist natürlich wieder in V, weil seine Komponenten wieder reelle Zahlen sind. Streng genommen müsstest du jetzt noch alle anderen Axiome beweisen, aber das hier ist das wichtigste.
Überprüfe, ob das bei 2. auch klappt!
Grüße,
Stefan
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