R^3 als R-Algebra < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 26.10.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die komplexen Zahlen haben wir definiert indem wir auf den reellen Vektorraum [mm] (\mathbb{R}^2, [/mm] *,+) (Skalarmultiplikation ist mit * gemeint) die Multiplikation mittels (a,b) [mm] \odot [/mm] (c,d)= (ac-bd,bc+ad) eingeführt haben und damit einen kommutativen Körper - die komplexen Zahlen erhalten. Dieser hat mittels der Körpereinbettung i: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, x\mapsto [/mm] (x,0) die reellen Zahlen als Teilkörper.
Wir haben [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] zu einer [mm] \mathbb{R}- [/mm] Algebra gemacht, die ein Körper ist.
Nun sagt der Professor, dass es soetwas im reelen Vektorraum [mm] (\mathbb{R}^3,*,+) [/mm] (Skalarmultiplikation ist mit * gemeint) nicht gibt.( man solle sich das mittels Lineare Algebra und Eigenwerten überlegen) |
Hallo,
Angenommen es gibt eine Körperstruktur auf [mm] \mathbb{R}^3, [/mm] die einen zu [mm] \mathbb{R} [/mm] isomorphen Teilkörper enthält, sodass dieser Körper ein [mm] \mathbb{R}-Vektorraum [/mm] ist.
Bezeichne die Körpereinbettung als i: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, [/mm] die, die rellen Zahlen in [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] einbettet.
Fixiere a [mm] \in \mathbb{R}^3 [/mm] und betrachte die Abbildung p: [mm] \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 [/mm] mit der Vorschrift: [mm] p(x)=a\odot [/mm] x. Diese muss einer [mm] \mathbb{R}- [/mm] lineare Abbildung sein, da [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] eine [mm] \mathbb{R}- [/mm] Algebra sein soll.
Diese hat also eine Matrixdarstellung.
Da jedes Polynom mit reellen Koeffizienten 3.ten Grades eine reelle Nullstelle hat folgt, dass das charakteristische Polynom der Matrix von der Abbildung p eine reelle Nullstelle hat. D.h. die Abbildung p hat einen reellen Eigenwert.
Ist nun [mm] \lambda [/mm] der reelle Eigenwert mit Eigenvektor [mm] v\not=0: a\odot v=p(v)=\lambda*v=i(\lambda)\odot [/mm] v
Da ein Körper nullteilerfrei ist folgt: a= [mm] i(\lambda)
[/mm]
Ist das nun ein Widerspruch für ein allgemein gewähltes a?
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Do 27.10.2016 | | Autor: | hippias |
Gut gemacht. Ich finde es besonders gut, dass Du am Ende nocheinmal zwischen [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $i(\lambda)$ [/mm] unterschieden hast. Hättest Du zu beginn [mm] $a\in \IR^{3}\backslash i(\IR)$ [/mm] gewählt - und bei einem Anflug von Pingeligkeit auch noch begründet, dass es ein solches gibt, dann hast Du damit einen kompletten Widerspruchsbeweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Do 27.10.2016 | | Autor: | sissile |
Danke für deine erfreuliche Antwort.
> Hättest Du zu beginn $ [mm] a\in \IR^{3}\backslash i(\IR) [/mm] $ gewählt - und bei einem Anflug von Pingeligkeit auch noch begründet, dass es ein solches gibt.
An welche Begründung denkst du da? Oder steht wo dass [mm] \mathbb{R} [/mm] ein echter Teilkörper sein muss?
Ich war mir nämlich nicht sicher wie diese Abbildung [mm] i:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 [/mm] aussieht. Ist diese analog gegeben als i(x)=(x,0,0) ?
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Fr 28.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> > Hättest Du zu beginn [mm]a\in \IR^{3}\backslash i(\IR)[/mm]
> gewählt - und bei einem Anflug von Pingeligkeit auch noch
> begründet, dass es ein solches gibt.
> An welche Begründung denkst du da? Oder steht wo dass
> [mm]\mathbb{R}[/mm] ein echter Teilkörper sein muss?
> Ich war mir nämlich nicht sicher wie diese Abbildung
> [mm]i:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3[/mm] aussieht. Ist diese
> analog gegeben als i(x)=(x,0,0) ?
Auf alle Fälle ist i eine lineare Abbildung [mm] $i\colon\IR\to\IR^3$.
[/mm]
Kann also [mm] $i(\IR)=\IR^3$ [/mm] gelten?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 So 06.11.2016 | | Autor: | sissile |
Alles klar, danke euch für's Korrekturlesen;)
LG,
Sissi
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