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| Aufgabe | Sei R ein kommutativer, unitärer Ring. Eine R-Algebra ist ein kommutativer, unitärer Ring S zusammen mit einem Ringhomomorphismus $ R [mm] \to [/mm] S $
Sei S nun ein R-Modul, auf welchem eine Ringstruktur erklärt ist, deren Addition der Moduladdition entspricht und deren Multiplikation R-bilinear ist.
Zeigen Sie, dass S eine R-Algebra ist. |
Hallo!
Mmh, ich frage mich die ganze Zeit, ob man da annehmen soll, dass S bereits kommutativ ist und ein Einselement hat oder ob man das gerade zeigen soll, dann hätte man mit $ [mm] r\mapsto r*e_{S} [/mm] $ ja bereits so einen Morphismus?
Aber wie könnte man Kommutativität und Existenz der Eins zeigen? Weiß irgendwie nicht, wie man da losrechnen sollte...
Wäre die Aussage falsch, wenn man nicht voraussetzt, dass S kommutativ und unitär ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 16.10.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Sei R ein kommutativer, unitärer Ring. Eine R-Algebra ist
> ein kommutativer, unitärer Ring S zusammen mit einem
> Ringhomomorphismus [mm]R \to S[/mm]
>
> Sei S nun ein R-Modul, auf welchem eine Ringstruktur
> erklärt ist, deren Addition der Moduladdition entspricht
> und deren Multiplikation R-bilinear ist.
> Zeigen Sie, dass S eine R-Algebra ist.
> Hallo!
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> Mmh, ich frage mich die ganze Zeit, ob man da annehmen
> soll, dass S bereits kommutativ ist und ein Einselement hat
> oder ob man das gerade zeigen soll, dann hätte man mit
> [mm]r\mapsto r*e_{S}[/mm] ja bereits so einen Morphismus?
> Aber wie könnte man Kommutativität und Existenz der Eins
> zeigen? Weiß irgendwie nicht, wie man da losrechnen
> sollte...
> Wäre die Aussage falsch, wenn man nicht voraussetzt, dass
> S kommutativ und unitär ist?
Ja, da stimmt tatsächlich was nicht. Das einfachste Beispiel ist der Matrizenring [mm]M_{n}(R)[/mm] über einem kommutativen Ring R. Die Multiplikation ist R-bilinear, aber nicht kommutativ. D.h. [mm]M_{n}(R)[/mm] ist eine nicht-kommutative R-Algebra, bzw. nach eurer Definition gar keine R-Algebra.
Und eine 1 brauchst du in S auch. Denn jeder R-Modul M wird mit der trivialen Multiplikation mn=0 (die natürlich R-bilinear ist), für alle [mm] m, n \in M [/mm] zu einer R-Algebra ohne 1, bzw in eurem Fall wieder zu gar keiner R-Algebra ;).
Beste Grüße,
Berieux
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