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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:37 Di 15.12.2015 | | Autor: | livachen |
| Aufgabe | Mache grade ein wenig Lineare Algebra, und bin dabei auf die folgende Aufgabe gestoßen:
Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und seien U,W ⊆ V Unterräume. Wir betrachten die
Abbildung
qU |W:W −→ VU,v 7−→ [v]=v+U.
Zeigen Sie:
(a) qU |W ist eine lineare Abbildung mit ker(f) =U ∩ W.
(b) qU |W ist genau dann surjektiv, wenn V=U+W.
(c) qU |W ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V=U ⊕ W. |
zum ersten Teil dieser Aufgabe:
für eine lineare Abbildung muss sowohl die Homogenität als auch die Addition gelten.
In der Vorlesungen haben wir gezeigt, dass für den Wertebereich (den Quotientenvektorraum) "V/U" die Addition und Skalarmultiplikation auf VU wohldefiniert ist..
Nun stockt es bei mir; was müsste ich weiterhin zeigen, bevor ich auf den Kern eingehe?
Auf weitere Tipps und Anregung (sowohl fragebezogen als auch auf die weiteren Aufgaben) würde ich mich stets freuen! 
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.onlinemathe.de/forum/Quotientenvektorraum-und-Komplement-des-Unterraums
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> Mache grade ein wenig Lineare Algebra, und bin dabei auf
> die folgende Aufgabe gestoßen:
>
>
> Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und seien U,W ⊆ V
> Unterräume. Wir betrachten die
> Abbildung
> [mm] q_U|_W :W\to [/mm] V/U, v [mm] \to [/mm] [v]=v+U.
> Zeigen Sie:
> (a) [mm] q_U|_W [/mm] ist eine lineare Abbildung mit ker(f) =U ∩ W.
> (b) [mm] q_U|_W [/mm] ist genau dann surjektiv, wenn V=U+W.
> (c) [mm] q_U|_W [/mm] ist genau dann ein Isomorphismus, wenn V=U ⊕ W.
> zum ersten Teil dieser Aufgabe:
>
> für eine lineare Abbildung muss sowohl die Homogenität
> als auch die Addition gelten.
Hallo,
ja, Du mußt zeigen, daß für alle [mm] k\in [/mm] K und für alle [mm] w_1, w_2 \in [/mm] W gilt
[mm] q_U(w_1+w_2)=q_U(w_1)+q_U(w_2)
[/mm]
und
[mm] q_U(kw_1)=kq_U(w_1).
[/mm]
> Nun stockt es bei mir; was müsste ich weiterhin zeigen,
> bevor ich auf den Kern eingehe?
Nichts. Du kannst jetzt gleich damit beginnen, Dir zu überlegen, was der Kern ist:
1. Z.z. [mm] Kern(q_U|_W)\subseteq U\cap [/mm] W:
sei [mm] w\in [/mm] W und [mm] w\in [/mm] Kern [mm] (q_U|_W).
[/mm]
dann ist [mm] q_U(w)=0_{V/U},
[/mm]
also ist
w+U=...
==> ...
2. Z.z. [mm] U\cap [/mm] W [mm] \subseteq Kern(q_U|_W)
[/mm]
Sei [mm] w\in U\cap [/mm] W ==> ... ... ...
LG Angela
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> Auf weitere Tipps und Anregung (sowohl fragebezogen als
> auch auf die weiteren Aufgaben) würde ich mich stets
> freuen!
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Quotientenvektorraum-und-Komplement-des-Unterraums
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Di 15.12.2015 | | Autor: | livachen |
| Aufgabe 1 | | qU |W:W −→ VU,v 7−→ [v]=v+U |
| Aufgabe 2 | | Schaue ich mir nur den Definitionsbereich an, um zu zeigen, dass die Abbildung linear ist? |
Homogenität und die Addition sind mir schon bekannt
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> qU |W:W −→ VU,v 7−→ [v]=v+U
> Schaue ich mir nur den Definitionsbereich an, um zu
> zeigen, dass die Abbildung linear ist?
Hallo,
ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstehe...
Ja, da die Abbildung auf W definiert ist, zeigst Du die Linearität auf W.
> Homogenität und die Addition sind mir schon bekannt
Schön.
LG Angela
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